Finden Sie ein Fundamentalsystem von Lösungen für das homogene Gleichungssystem

Question

Finden Sie ein Fundamentalsystem von Lösungen für das folgende homogene Gleichungssystem

$$ \left\{ \begin{array} { c } { 3 x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } - 3 x _ { 3 } + x _ { 4 } = 0 } \\ { x _ { 1 } + x _ { 2 } - 2 x _ { 3 } } \\ { 2 x _ { 1 } - x _ { 2 } + 5 x _ { 3 } + 3 x _ { 4 } = 0 } \end{array} \right. $$

Answer 1

[3, 2, -3, 1]
[1, 1, -2, 0]
[2, -1, 5, 3]

3*II - I und 3*III - 2*I

[0, 1, -3, -1]
[0, -7, 21, 7]

II + 7*I

[0, 0, 0, 0]

Es bleiben nur noch 2 Gleichungen und damit haben wir 2 Freiheitsgrade ich wähle hier c und d als Freiheitsgrade.

[0, 1, -3, -1]
b - 3c - d = 0
b = 3c + d

[3, 2, -3, 1]
3a + 2b - 3c + d = 0
3·a + 2·(3·c + d) - 3·c + d = 0
a = -c - d

Der Lösungsvektor lautet

[-c-d, 3c+d, c, d] oder separiert [-1, 3, 1, 0]*c + [-1, 1, 0, 1]*d

Wir haben also die aufspannenden Vektoren [-1, 3, 1, 0] und [-1, 1, 0, 1] die das Fundamentalsystem von Lösungen bilden.