y''-y = e^{-x} partikuläre lösung? (Fundamentalsystem und Anfangswerte)

Question

Hallo also ich weiß normale weise wie so welche fragen man löst aber hir habe ich eine problem also:

y''-y = e^{-x}

>> lambda^2-1

lambda_1 = -1 und lambda_2 = 1 also,

y_h = c_1e^-x + c_2e^x

bis hir habe ich kein problem aber wenn ich den partikuläre lösung rechnen will kommt ein problem raus

y_p = Ae^{-x}

y'_p = -Ae^{-x}

y''_p = Ae^{-x}

=> Ae^{-x} - Ae^{-x} = 0 ?? und gibt es ein problem es darf doch nicht 0 raus kommen oder (mit rezonans habe ich es auch probiert ich bekomme auch keine lösung raus)

kann mir jemand helfen bitte und was fundamentalsystem ist die homogene lösung also die y_h oder?

und ich werde mich auch sehr freuen wenn jemand mir mit (iii) lösen bzw. helfen kann

dankevoraus

Answer 1

Hallo cihanimo,

y " - y '  =  e^-x    

....

>    Ae^-x - Ae^-x = 0 ??   

Vorher ist alles richtig, aber hier muss man zur Bestimmung von einer speziellen Lösung y_p  den Ansatz

y_p = A * x * e^-x  nehmen . 

(vgl. hier:  http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf    )  

  ( untere Tabelle in der Mitte)  

y_p'  _{=  A * ( e}^-x - x * e^-x )  =  A * e^-x * (1-x)   

y_p"  =  A  * ( - e^-x * (1-x) - e^-x )  =  A * ( -2  e^-x + x * e^-x )   =  A * e^-x * (-2 + x)  

In  DGL  einsetzen:

A * e^-x * (-2 + x)  -  A * e^-x * x   =  e^-x 

 e^-x * A * ( - 2 ) = e^-x  

- 2A = 1

A = - 1/2

Allgemeine Lösung der DGL:   

  y = y_h + y_p  =  c₁ * e^-x + c₂ * e^x -  1/2 * x * e^-x   

Für das  Anfangswertproblem  musst du halt noch einsetzen und mit beiden Gleichungen c₁ und c₂ bestimmen.

- (2·c₁ - 2·c₂ + 1)/2 =   0    und   c₁ + c₂ = 0

→   c₁ = -1/4  und  c₂ = 1/4   

Also gilt für die Lösung

y = -1/4 * e^-x + 1/4 * e^-x - 1/2 * x * e^-x   

y(0) = y '(0) = 0

Gruß Wolfgang

 

Comments

dankeschön und fundamentalsystem bedeutet allgemeine lösung oder nur homogene lösung?

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Das Fundamentalsystem sind die beiden  Terme

c_{1 *} e^-x   und   c₂ *  e^x !

Habe die Antwort oben noch etwas ergänzt.

Answer 2

Deine homogene Lösung stimmt.

Die part.Lösung lautet: y_p= A*x *e^{-x}

Comments

ja das habe ich schon aus ausprobiert also,

y_p = Axe^{-x}

y'_p = -Ae^{-x}x + Ae^{-x}

y''_p = Ae^{-x}x - Ae^{-x} - Ae^{-x}

=> e^{-x} (Ax-A) kommt raus und das hat auch kein lösung oder gibt es ein lösung?

was meint er mit fundamentalsystem?

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27-y+%3D+e%5E(-x)

Müsstest / möchtest du  auf A = -1/2 kommen?

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was meint er mit Fundamentalsystem?

Das ist auf die homog. DGL bezogen (siehe Aufgabe)

FS ( e^{-x} ,e^x) , aber in geschweiften Klammern

vereinfacht gesagt ,das Ganze ohne die Konstanten C₁ und C₂.

Endlösung mit AWB zum Vergleich:

y= (e^{2x} -2x -1)/( 4 e^x)

Answer 3

der Störterm e^{-x} ist resonant zur homogenen Lösung, deshalb musst du als Ansatz für die partikuläre Lösung yp=A*x*e^{-x} wählen.

Comments

ja das habe ich schon aus ausprobiert also,

y_p = Axe^-x

y'_p = -Ae^-xx + Ae^-x

y''_p = Ae^-xx - Ae^-x - Ae^-x

=> e^-x (Ax-A) kommt raus und das hat auch kein lösung oder gibt es ein lösung?

was meint er mit fundamentalsystem?