Divergenz der Harmonischen Reihe

Question

Ich soll folgende Reihe auf Konvergenz überprüfen:∑(1-1/k)^k². Kann ich nun sagen das die Reihe divergiert weil ich weiß, dass die Harmonische Reihe divergiert?

Comments

Was ist denn k2?

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Du kannst mit Bestimmtheit davon ausgehen, dass damit k^2 gemeint ist.

Answer 1

Also ist das die Reihe mit den Summanden (( 1 - 1/k) ^k  ) ^k .

Die Folge  ( 1 - 1/k) ^k  geht von unten gegen 1/e .

Also ist  die Reihe

∑ (1/e) ^k  eine Majorante. Und weil 1/e < 1 ist, ist sie konvergent.

Comments

Ja das soll k² bedeuten. Wie siehst du das die Reihe von unten gegen 1/e geht. Ich weiß, dass e durch (1+1/n)ⁿ beschrieben wird aber verstehe nicht ganz warum ich aus (1-1/n)ⁿ sagen kann das sie gegen 1/e geht. Ich nehme mal an die Reihe konvergiert damit gegen 0 oder?

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allgemein geht  ( 1 + x/n ) ^n  gegen e^x   also mit x = -1 gegen e ^-1

Ich nehme mal an die Reihe konvergiert damit gegen 0 oder?   Nein !

Die Summanden gehen gegen o.

Die Reihe hat  die geom. Reihe   im 1/e als Majorante, also

ist ihr GW ≤    1 / ( 1 - 1/e )  =  e / ( e-1) .

Mehr könnte ich nicht sagen.

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Ok danke das hilft mir schon viel weiter. Nur noch eine Frage. Wieso hat es die geometrische Reihe als MAJORANTE? Die Majorante ist ja eine Reihe die ≥ der Gegebenen Reihe ist. In meinem Fall ist das ja aber genau GLEICH der Geometrischen Reihe. Wo liegt da mein Denkfehler?

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Wenn du die Reihe ∑ (1/e) ^k    meinst, hast du recht, die

hat den GW e / ( e-1) ..

Aber deine Reihe war ja die mit den Summanden (( 1 - 1/k) ^k  ) ^k .

und die Werte von  ( 1 - 1/k) ^k  gehen ja erst gegen 1/e , sind also

selber immer noch kleiner als 1/e ; also ist der GW auch ≤  e / ( e-1) ,

aber jedenfalls existiert einer.