Berechnung von bestimmten Integralen. F mit F(t( = -20(t + 10)e^{-0,1t} ist Stammfunktion.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit \( f ( t ) = 2 t e ^ { - 0,1 t } ; t \geq 0 \).

a) Zeigen Sie: F mit F(t) = -20(t + 10)e^{-0,1t} ist eine Stammfunktion von f.

b) Berechnen Sie das Integral \( \int _ { 0 } ^ { 5 } f ( t ) d t \).

Answer 1

a.) Du brauchst nicht integrieren sonderen leitest die Stammfunktion ab

F ( t ) = -20 * ( t + 10 ) * e^{-0.1*t}
F ´( t ) = -20 * [ 1 * e^{-0.1*t} + ( t + 10 ) *  e^{-0.1*t} * (-0.1) ]
F ´( t ) = -20 * [ e^{-0.1*t} + ( -0.1*t - 1 ) * e^{-0.1*t} ]
F ´( t ) = -20 * e^{-0.1*t} * ( 1 - 0.1*t - 1 )
F ´( t ) = 2 * t  * e^{-0.1*t}

b.)

[ -20 * ( t + 10 ) * e^{-0.1*t} ] 0 5
-20 * [ ( t + 10 ) * e^{-0.1*t} ] 0 5
-20 * [ ( 5 + 10 ) * e^{-0.1*5} - ( 0 + 10 ) * e^{-0.1*t} ]

18.04

Answer 2

zu a)F(t) ist einmal abzuleiten ------>Ergebnis ist f(t)

zu b) Lösung durch partielle Integration

Ergebnis: ≈18.04