Aloha :)
Wir zeichnen die Funktion \(y=2x-3\) in ein Koordinatensystem ein (blaue Linie). Das Integral von \(2\) bis \(3\) dieser Funktion ist die Fläche unterhalb der blauen Linie, in den Grenzen von \(2\) bis \(3\). Wir erkennen ein Rechteck (grün) und ein Dreieck (rot).
~plot~ (2x-3) ; (2x-3)*(x>=2)*(x<=3) ; 1*(x>=2)*(x<=3) ; [[0|4|0|4]] ~plot~
$$\text{Fläche}_{\text{Rechteck}}=1\cdot1=1\quad;\quad\text{Fläche}_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot2=1$$Beide Flächen zusammen ergeben das Integral:$$\int\limits_2^3(2x-3)dx=2$$
Auch bei der zweiten Aufgabe zeichnen wir uns die Situation auf:
~plot~ (x-3)^2+2 ; 2 ; x=3 ; [[0|6|0|12]] ~plot~
Wir erkennen zuerst eine Rechteckfläche (rote Linie). Das Rechteck hat die Höhe \(2\) und die Breite \(x\), also ist seine Fläche von \(0\) bis \(x\) gleich \(2x\). Zwischen der Oberkante des Rechtecks (rote Linie) und der Parabel (blaue) Linie können wir die Fläche mit der angegebenen Integralfunktion bestimmen.
Für \(x\ge3\) befinden wir uns rechts von der grünen Linie (bzw. genau auf ihr). Die Fläche unter dem Parabelbogen links der grünen Linie beträgt \(\frac{3^3}{3}=9\). Die Fläche unter dem Parablebogen rechts der grünen Linie, also von \(3\) bis \(x\), beträgt \(\frac{(x-3)^3}{3}\).$$F_{x\ge3}(x)=2x+9+\frac{(x-3)^3}{3}$$Für \(x<3\) befinden wir uns links von der grünen Linie. Die Fläche unter dem Parabelbogen links der grünen Linie beträgt \(9-\frac{(3-x)^3}{3}\).$$F_{x<3}(x)=2x+9-\frac{(3-x)^3}{3}=2x+9+\frac{(x-3)^3}{3}$$Zusammengefasst erhalten wir links und rechts von der grünen Linie dieselben Formeln und sind fertig:$$F(x)=2x+9+\frac{(x-3)^3}{3}$$
