Vektoren: Quadrate im 3D Vektorraum mit "schönen" Koordinaten entwerfen

Question

Ich möchte im 3D Vektorraum Quadrate mit "schönen" Koordinaten entwerfen. Das bedeutet, die Eckpunkte sollten aus "kleinen ganzen Zahlen" gebildet sein - keine unhandlichen Brüche. Als Start habe ich den Vektor   

          1

a =    2       gewählt.

          3

Dazu brauche ich dann einen orthogonalen Vektor, der ebenfalls "schöne" Werte besitzt.

Hat einer von den Lesern schon solche Aufgaben entworfen?

Comments

Der ist vermutlich nicht so einfach. Denn du suchst ja nicht nur senkrechte Vetoren, das wäre ansich wohl kein Problem. Du suchst ja genauer gesagt 2 senkrechte Vektoren die zueinander dann auch senkrecht sind. Also alle 3 Vektoren sind paarweise orthogonal zueinander.

Das wär auch noch nicht weiter schlimm. Aber jetzt kommt der Hammer. die müssen ja zwangsweise alle die gleiche Länge wie dein erster Vektor haben.

Oder habe ich das Missverstanden ?

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Nicht missverstanden:

Ich will einen Vektor festlegen (der mir gefällt, mit ganzzahligen Koordinaten). Dann suche ich einen Vektor, der Senkrecht dazu steht und dieselbe Länge hat (auch mit ganzzahligen Koordinaten). 

Damit kann ich dann das Quadrat konstruieren.

Der Hintergrund ist der:  Es gibt einige Aufgaben in Büchern, die immer ganzzahlige Koordinaten für die Ecken der Quadrate aufweisen. Ich will genau sowas entwerfen.

Gruß, Thomas

Answer 1

dein Beispielvektor \(\vec{a}\) = (1|23)   

gesucht  \(\vec{v}\) = (x|y|z)  mit  \(\vec{a}\) • \(\vec{v}\) = 0    und |\(\vec{a}\)| = |\(\vec{v}\)|

also:  x + 2y +3z = 0  und  x² + y² + z² = 14

⇔  x + 2·y + 3·z = 0   und    5·y² + 12·y·z + 10·z² = 14

Die letzte Gleichung kann man nach y auflösen:

y = 1/5 • [ √2·(√7·√(5 - z²) - 3·√2·z) ]  oder  y =  1/5 • [ - √2·(√7·√(5 - z²) + 3·√2·z) ]

Jetzt müsstest du nur noch durch Probieren ein "schönes" z finden, das beim Einsetzen ein "schönes" y ergibt :-)    [Mein Rat: versuche es gar nicht erst! ]

x ergäbe sich dann aus der ersten Gleichung und wäre wegen seines Koeffizienten 1 automatisch nicht völlig hässlich [ ∈ ℤ ]

Gruß Wolfgang