Bestimmung der Geschwindigkeit V0 aus 3D Koordinaten

Question

Aufgabe: Die Anfangsgeschwindkeit eines Flugzeugs soll bestimmt werden. Ein Flugzeug stürzt ab, die Positionsdaten werden eine Zeit lang über 3D Koordinaten erfasst. x,y,z

Wobei z= Höhe. Die Einheit ist feet.

Am Ende soll der Aufprallort bestimmt werden.

Luftwiderstand wird vernachlässigt.

Problem/Ansatz:

Ich habe aus dem Höhenfall die Zeit berechnet die dass Flugzeug benötigt um von 2930 m auf 2025 m zu fallen.

$$t=\sqrt{\frac{2* 905m}{9,81}}= 13,58 s$$ (y-Komponente in 2D oder z-Komponente in 3D)

Anschließend habe ich die Strecke bestimmt die das Flugzeug in dieser Zeit zurücklegt. (x-Komponente in 2D)

Dabei habe ich aus den x und y Komponenten den Endpunkt mit Pythagoras gebildet. x= 355.9 m, y= 213.58 m.

Dann bekomme ich für die Strecke s= 415 m.

Das würde einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von v0= s/t=415m/13,58 s = 20 m/s = 110 km/h

entsprechen.

Kann das jemand nachvollziehen? Wäre das richtig? Die Koordinaten sind unten aufgelistet.

In feet.

x                 y              z

['  0.000', '  0.000', '9612.744']
['  55.462', '  38.076', '9600.306']
[' 123.492', '  74.591', '9575.892']
[' 186.705', ' 109.918', '9530.637']
[' 242.680', ' 148.038', '9488.264']
[' 303.368', ' 181.056', '9403.478']
[' 371.098', ' 219.433', '9324.496']
[' 427.138', ' 259.049', '9221.149']
[' 490.897', ' 297.096', '9077.040']
[' 550.023', ' 333.485', '8952.668']
[' 611.013', ' 368.231', '8797.505']
[' 674.976', ' 404.232', '8625.308']
[' 736.747', ' 439.862', '8425.448']
[' 796.111', ' 481.257', '8230.700']
[' 858.974', ' 515.053', '8011.926']
[' 920.506', ' 550.808', '7759.673']
[' 981.578', ' 587.145', '7519.582']
['1040.612', ' 626.015', '7233.002']
['1104.946', ' 662.040', '6954.731']
['1167.735', ' 700.729', '6643.463']

Umgerechnet

0.0  feet= 0.0 m
55.462  feet= 16.9048176 m
123.492  feet= 37.640361600000006 m
186.705  feet= 56.907684 m
242.68  feet= 73.96886400000001 m
303.368  feet= 92.4665664 m
371.098  feet= 113.1106704 m
427.138  feet= 130.1916624 m
490.897  feet= 149.6254056 m
550.023  feet= 167.64701040000003 m
611.013  feet= 186.23676240000003 m
674.976  feet= 205.73268480000002 m
736.747  feet= 224.5604856 m
796.111  feet= 242.6546328 m
858.974  feet= 261.81527520000003 m
920.506  feet= 280.5702288 m
981.578  feet= 299.1849744 m
1040.612  feet= 317.1785376 m
1104.946  feet= 336.7875408 m
1167.735  feet= 355.92562799999996 m

0.0  feet= 0.0 m
38.076  feet= 11.605564800000002 m
74.591  feet= 22.7353368 m
109.918  feet= 33.503006400000004 m
148.038  feet= 45.12198240000001 m
181.056  feet= 55.18586880000001 m
219.433  feet= 66.8831784 m
259.049  feet= 78.9581352 m
297.096  feet= 90.5548608 m
333.485  feet= 101.64622800000001 m
368.231  feet= 112.2368088 m
404.232  feet= 123.20991360000002 m
439.862  feet= 134.0699376 m
481.257  feet= 146.6871336 m
515.053  feet= 156.9881544 m
550.808  feet= 167.8862784 m
587.145  feet= 178.961796 m
626.015  feet= 190.809372 m
662.04  feet= 201.789792 m
700.729  feet= 213.58219920000002 m

9612.744  feet= 2929.9643712 m
9600.306  feet= 2926.1732688 m
9575.892  feet= 2918.7318816 m
9530.637  feet= 2904.9381576000005 m
9488.264  feet= 2892.0228672 m
9403.478  feet= 2866.1800943999997 m
9324.496  feet= 2842.1063808 m
9221.149  feet= 2810.6062152 m
9077.04  feet= 2766.6817920000003 m
8952.668  feet= 2728.7732064 m
8797.505  feet= 2681.479524 m
8625.308  feet= 2628.9938784000005 m
8425.448  feet= 2568.0765504 m
8230.7  feet= 2508.7173600000006 m
8011.926  feet= 2442.0350448000004 m
7759.673  feet= 2365.1483304 m
7519.582  feet= 2291.9685936 m
7233.002  feet= 2204.6190096 m
6954.731  feet= 2119.8020088 m
6643.463  feet= 2024.9275224 m

Comments

Ist für mich ein bißchen viel auf einmal.

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Zum Vergleich ist die genaue Angabe der Originalaufgabe hilfreich. Das könntest du jetzt mal in Angriff nehmen.

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Berechne das nochmal für ein anderes Wertepaar aus der Mitte ob das dort auch hinkommt. Du gehst hier ja von einem waagerechten Wurf aus. Wer sagt dir das das richtig ist?

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Hier einmal die Aufgabenstellung. (Ich sehe gerade dass nur die Höhe in feet ist. D.h ich muss meine Berechnung nochmal machen.)

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Ok. Nach Aufgabenstellung ist der Ansatz eines freien Falls oder auch eines Waagerechten Wurfes absolut nicht gerechtfertigt. Genauso das Luftwiderstand vernachlässigbar sein soll.

Es langt auch nicht hier einfach nur einen Punkt am Anfang und am Ende zu nehmen und des Rest außen vor zu lassen.

Vielleicht kann man eventuell davon ausgehen das zwischen zwei Ortungen nahezu die gleiche Zeit verstreicht. Aber auch davon sollte man lieber erstmal nicht ausgehen.

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Hallo Frost1989,

kannst Du Dich bis heute Abend gedulden?

Über die Geschwindigkeiten kann man nur Aussagen treffen, wenn irgendwas zu den Zeiten gesagt ist, die zwischen den einzelnen Positionsmessungen vergehen. In der Aufgabenstellung oben steht dazu gar nichts!

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Falls sich das jemand noch anschaut. In der Grafik habe ich nochmal die x und y Achse nachgezeichnet. Angenommen das Flugzeug ändert seine Richtung nicht. (Was es nicht tut, Siehe 2D Plot der x und y Koordinaten.)

Dann kann ich doch über Pythagoras die Strecke s bestimmen.

Ich habe jetzt den letzten Wert für X und Y genommen. Das ist x=1168 m und y=701m

 

Damit komme ich auf s= 1362,6 m. Die Zeit für den Fall des Flugzeugs beträgt t=13,58 sec.

Dann komme ich auf eine Geschwindigkeit von v= s/t = 100,31 m/s = 361 k/mh.

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Die Zeit für den Fall des Flugzeugs beträgt t=13,58 sec.

woher stammt diese Zeitinformation?

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@mathecoach.

Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden. (hat unser Dozent so gesagt)

Warum ist der Ansatz des Freien Falls nicht gerechtfertigt???

In der Höhenkomponente liegt doch ein freier Fall vor...

Wenn ich bei einem anderen Wertepaar die Geschwindigkeit bestimme variiert sie leicht. Wenn ich zum Beispiel das erste Wertepaar nehme. x=55,5 m , y= 38 m, t=0,879 s

Dann komme ich auf v= 275,4 km/h.

Wahrscheinlich müsste ich die Geschwindigkeit für alle Wertepaare nehmen und dann mitteln?

Aber ich glaube für die Festlegung des Flugzeugtyps genügt bereits das was ich habe. Die Cessna hat eine Reisegeschwindigkeit von 210 km/h. Somit kann es schonmal nicht die Cessna sein.

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@Werner-Salomon

Ich habe doch die Höhenkoordinaten vorliegen. Die höchste Koordinate beträgt 2930 m (hier beginnt der Freie Fall), die niedrigste Koordinate beträgt 2025 m (hier stoppt die Aufzeichnung)

Die Differenz beträgt 905 m. Über die Fallbeschleunigung g=9,81m/s2 kann man dann die Zeit berechnen.

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Warum ist der Ansatz des Freien Falls nicht gerechtfertigt???

naja - es ist total unrealistisch, dass ein Flugzeug im freien Fall vom Himmel fällt; zumal wenn 'nur' der Motor ausgefallen ist. Jedes Flugzeug (wirklich jedes!) kann auch ohne Motor in einen Gleitflug gehen. Dann wäre die weitere Flugbahn eine Gerade; zwar geneigt aber gerade!

Die Aufgabe geht aber wohl dahin, dass Du die Parabel bestimmen sollst (Die Daten bilden eindeutig eine Parabel!), die aus den Daten auszulesen ist. Der Aufschlagpunkt läge dann bei ca.: x=2100m, y=1260m. (muss ich aber noch mal prüfen)

Mehr dazu ggf. heute Abend.

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Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden. (hat unser Dozent so gesagt)

Warum ist der Ansatz des Freien Falls nicht gerechtfertigt???

Ok. Wenn das vom Dozenten so kommt dann ist das ok. In der Aufgabe steht davon nichts.

Erwartungsgemäß nimmt die Geschwindigkeit eines Körpers im waagerechten Wurf zu, weil die Horizontalgeschwindigkeit konstant bleibt und die Vertikalgeschwindigkeit linear mit der Zeit ansteigt.

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@mathecoach.

Erwartungsgemäß nimmt die Geschwindigkeit eines Körpers im waagerechten Wurf zu

 

Ok. Mich interessiert ja aber nur die horizontale Geschwindigkeit des Flugzeugs. oder?

 

Der Aufschlagpunkt läge dann bei ca.: x=2100m, y=1260m. (muss ich aber noch mal prüfen)

Ich habe jetzt folgende Werte ermittelt. Wenn ich mit v =100,3 m/s rechne.

x= 2914.72 m

y= 1749.95 m

Answer 1

Hallo Frost1989,

Du kannst es Dir ganz einfach machen. Und zwar genau so, wie Du es oben begonnen hast. Nur das eben die X-Y-Werte in Metern gegeben sind.

Die Zeit von der ersten bis zur letzten Positionsmessung ist \(13,58\text{s}\) - unter der Annahme, dass hier ein freier Fall vorliegt. Damit ist auch die Horizontalgeschwindigkeit \(\vec{v}_h\) gegeben. Es ist einfach$$\vec{v}_h = \begin{pmatrix} 1167,735 \\ 700,729 \end{pmatrix} \frac{\text{m}}{13,58\text{s}} \approx \begin{pmatrix} 85,97 \\ 51,59\end{pmatrix}\frac{\text{m}}{\text{s}} \\ |\vec{v}_h| \approx 100,3\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 360,9 \frac{\text{km}}{\text{h}} \implies \text{Piper}$$Unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes braucht das Objekt aus 2930m Höhe $$t_a = \sqrt{\frac{2 \cdot 2929,96}{9,81}} \text{s} = 24,44 \text{s}$$bis zum Aufschlag.

Und die Position \(\vec{p}_a\) des Auftreffpunkts ist dann $$\vec{p}_a = \vec{v}_h \cdot t_a = \begin{pmatrix} 85,97 \\ 51,59\end{pmatrix}\frac{\text{m}}{\text{s}}  \cdot 24,44 \text{s} = \begin{pmatrix}2101 \\ 1261 \end{pmatrix} \text{m}$$Die Auftreffgeschwindigkeit \(v_a\) setzt sich aus der horizontalen und vertikalen Geschwindigkeit zusammen$$v_a = \sqrt{v_h^2 + v_z^2(t_a)} = \sqrt{v_h^2 + (g \cdot t_a)^2} \approx 260 \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 936 \frac{\text{km}}{\text{h}}$$.. also in der Größenordnung der Schallgeschwindigkeit, was die Realitätsferne dieser Aufgabenstellung anzeigt ;-)

Der schwierige Teil der Aufgabe ist die genaue Bestimmung der Flugbahn - ich unterstelle, in Form einer Parabel. Dazu bringt man die Daten zunächst in eine Form, dass aus der Bahn in 3D eine in 2D gibt. Wir drehen also das Koordinatensystem um die Z-Achse, so dass die Abweichung senkrecht zu der Ebene, in der sich die (erhoffte) Parabel befindet, minimal werden. Das kann man per Regression machen oder einfach indem man die letzte Position als Leitlinie annimmt. Im letzteren Fall wäre der Drehwinkel \(\varphi\)$$\tan \varphi = \frac{700,729}{1167,735}$$und die Drehmatrix \(D\) ist dann $$D = \begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,8574644164 & 0,514543268 \\ -0,514543268 & 0,8574644164\end{pmatrix} $$Damit muss nun jede XY-Position multipliziert werden und man erhält dann jedes Mal einen Vektor im gedrehten System - ich nenne es UV-System. Wobei die V-Koordinate minimal wird; die meisten V-Werte liegen deutlich unterhalb von 3m.

Dann gibt es wieder verschiedene Möglichkeiten. Im einfachsten Fall nimmt man an, die Parabel habe die Form \(z = a\cdot u^2 + 2930\text{m}\). Dann reicht eine Position aus, um den Faktor \(a\) zu berechnen. Oder man nimmt drei Positionen aus der Tabelle und berechnet daraus die Koeffizienten der Parabel \(z= a \cdot u^2 + b \cdot u + c\) oder man führt eine quadratische Regression durch.

Das habe ich mal gemacht und erhalte$$z = -0,0004910532u^2 +0,0035707601u + 2928,9 $$Mit der Nullstelle \(u_a = 2445,9\). Nach Rücktransformation in das XY-System erhält man$$\vec{p}_a = D^{-1} \cdot \begin{pmatrix}2445,9 \\ 0\end{pmatrix}\text{m} \approx \begin{pmatrix} 2097,3 \\ 1258,5 \end{pmatrix} \text{m}$$Die Abweichung zur ersten Lösung liegt im Bereich von 2 bis 3m. Aber die quadratische Regression zeigt vor allem, dass es sich tatsächlich um eine Parabel handelt. Die Abweichung der Parabel zu den Messwerten liegen ebenso in der angegebenen Größenordnung von 2m.

Falls Du noch Fragen hast, z.B. wie das mit der quadratischen Regression funktioniert, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Darstellung. Ich sehe gerade dass ich den Fehler gemacht habe, die 2. te Zeit als einen neuen freien Fall zu berechnen. Ich habe dann mit der neuen   Zeit nochmal gerechnet und bekomme dann die gleichen Koordinaten raus. (Ich habe es mit meiner Dreieckmethode gemacht).

s=v*t=100,3 m/s * 24,44s= 2451,3 m

x= cos(39,98)* 2451,3= 2101,6 m

x= sin(39,98)* 2451,3= 1261,8 m

---

Die Aufgabe ist aus dem zweiten Semester E-technik Studium.

Ich möchte ja im Prinzip die Parabel bis zum Aufprallort fortsetzen damit ich einen Plot erstellen kann.

Wenn ich aus z=a⋅u^2+2930m, a bestimmen möchte wie mache ich das?

Angenommen das wären meine Wertepaare für die Parabel:

x:

1.21684
65.2768
144.564
218.24
283.481
354.215
433.157
498.474
572.788
641.701
712.788
787.339
859.336
928.527
1001.8
1073.52
1144.7
1213.5
1288.49
1361.67

y:

2929
2927.12
2919.2
2906.32
2890.46
2868.55
2838.3
2808.64
2769.81
2728.96
2681.93
2627.29
2569.34
2508.85
2439.68
2366.87
2289.61
2210.2
2118.38
2023.44

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Ich habe mit Python einen quadratischen Fit gemacht. Und dann habe ich neue z-Werte. Aber ich weiß nicht wie ich aus meinen Werten eben die Funktion erzeuge.

 Die rote Kurve ist die gefittete.

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Wenn ich aus z=a⋅u2+2930m, a bestimmen möchte wie mache ich das?

.. nun das ist der einfachste Teil. Nehme einen 'entfernten' Punkt, z.B. den letzten \(u=1361,8\text{m}\) und \(z=2024,9\text{m}\) und setze den einfach in die Funktion oben ein:$$2024,9\text{m} = a \cdot (1361,8\text{m})^2 + 2930\text{m}\\ \implies a = -0.000488008\frac 1{\text{m}}$$

Daraus folgt dann die Absturzstelle bei \(\displaystyle u_a = \sqrt{\frac{- 2930\text{m}}{a}} = 2450\text{m}\). Was für die grobe Schätzung ein ziemlich guter Wert ist!

Weißt Du, wie Du von \(u_a\) zu \((x_a,\, y_a)\) kommst? (steht aber schon in meiner Antwort)

Ich habe mit Python einen quadratischen Fit gemacht.

Na ja - dann sollte Dir das Programm doch auch die Funktion liefern - also die Koeffizienten der Parabel. Ansonsten eben mit drei Punkten aus Deinem Originaldatensatz. Ich schrieb bereits:

man nimmt drei Positionen aus der Tabelle und berechnet daraus die Koeffizienten der Parabel \(z=a\cdot u^2 + b\cdot u +c\)

mehr dazu ggf. heute Abend

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man nimmt drei Positionen aus der Tabelle und berechnet daraus die Koeffizienten der Parabel z=a⋅u2+b⋅u+c

So wollte ich das ja heute machen, aber du sagtest so gibt es eine Abweichung von 6m.

Ich mache das dann mit der Drehmatrix. Ich kann für jeden u-Wert mit der Parabelgleichung einen z-Wert bestimmen.

Anschließend muss ich dieses Wertepaar nur mit der Drehmatrix multiplizieren und erhalte meine x-y Koordinaten richtig?

Für die Absturzstelle wäre das D*( 2450 / 0)

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Hallo Frost1989,

So wollte ich das ja heute machen, aber du sagtest so gibt es eine Abweichung von 6m.

Ich gestehe; das war etwas provokativ gemeint ;-)

Mir ist nämlich nicht klar, was überhaupt von Dir mit dieser Aufgabe verlangt wird. Um die Absturzstelle zu bestimmen, muss man noch nicht mal die Parabel berechnen (s.o.). Und um die Parabel zu berechnen, reicht die bloße Annahme, dass die Flugbahn bereits im Scheitelpunkt beginnt \(\to f(u)=a \cdot u^2 + h_0\) und schon hat man ein vernünftiges Ergebnis (s.o.).

In der Aufgabenstellung heißt es aber:

... soll die Flugbahn ... möglichst genau bestimmt werden.

weiter sind nicht drei Punkte, sondern ca. 20 gegeben, mit der Information, dass dort eine Ungenauigkeit von 2m vorliegt. Das riecht stark nach Regression!

Du hast Dich aber zum Thema Regression bisher in keiner Weise geäußert. Daher meine Frage: welche Themen behandelt Ihr den gerade? Was wird bei dieser Aufgabe von Dir konkret erwartet?

Für die Absturzstelle wäre das D*( 2450 / 0)

\(D^{-1} \cdot (2450|\, 0)\) ... steht aber auch oben in meiner Antwort.

Gruß Werner

---

welche Themen behandelt Ihr den gerade?

Es geht ums Programmieren mit Python. Plotten und fitten von Funktionen etc. (Kein Mathe Fach)

soll die Flugbahn ... möglichst genau bestimmt werden.

Wäre das denn nicht genau, mit dem aktuellen Ergebnis? Mit der ermittelten Funktion und dem Aufprallort und ein paar zwischenwerten würde ich dann den Verlauf nochmal fitten. Das wäre dann sozusagen die Flugbahn..Ich wüsste nicht was ich noch tun könnte.