Bestimmen der letzten beiden Dezimalziffern von 2^1001

Question

Bestimme die letzten beiden Dezimalziffern von 2^1001.

Wie geht das?

Comments

Zweierpotenzen

2     = 2^1

4

8

16

32      = 2^5

64

128

256

512 = 2^9

1024

2048

4096

8192

usw.

Rechne weiter und

schau mal, ob du Regelmässigkeiten erkennen kannst. 

Da 1001 = 4*250 + 1, nehme ich an, dass die letzte Ziffer der gesuchten Zahl eine 2 ist.

überprüfe das und konzentriere dich nun auf die letzten 2 Ziffern, auch da sollte irgendwann eine Periode erkennbar sein.

Kontrolle:

Gemäss Wolframalphas exakter Rechnung sind die letzten beiden Ziffern 5 und 2 also 52. https://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5E1001

Answer 1

2¹⁰ = 1024  

wenn du damit weitermachst

1024*1024 = ....... 76

Das mal 1024 gibt sowas wie ......24

Also bei 1024^3 wieder 24 am Ende.

und damit bei allen ungeraden Potenzen von

1024 ist dann die 24 am Ende, also auch bei

1024^99 . Und damit bei

1024^100 am Ende 76.

1024^100 = (2^10 ) ^100 = 2^1000   also hat

2^1001 am Ende  76 * 2 = 152 also sind die letzten

beiden 52.

Answer 2

Zweierpotenzen

02     = 2¹

04    = 2^2

08     = 3^2

16

32      = 2⁵

64

128

256

512 = 2⁹

1024

2048

4096

8192 = 2^13

usw.

Wir berücksichtigen nur noch die Verdoppelungen der letzten 2 Ziffern

...184

...168

...136

...72 = 2^17

..144

...88

...176

...152 = 2^21

..104 = 2^22

2^2 * 2^20 = 2^22

Periodenlänge ist somit 20, wenn der Exponent 2 oder mehr ist.

1001 = 20*50+1 = 20*49 + 21

2^1001 = 2^{20*49} * 2^21

==> letzte 2 Ziffern wie bei 2^21 also 52.

Geht vermutlich auch einfacher, wenn du schon etwas Theorie gelernt hast.  

Answer 3

Diese Zahlen sind ja so klein, da kann man locker online alle Stellen berechnen lassen...

Interessant wird es, wenn WolframAlpha was nicht mehr kann:

Dafür gibt es den Pow-Mod Algorithmus: Iterationsrechner Beispiel 122 anpassen (2 hoch 1001) mod 100

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm

Für die, die JavaScript nicht so gut verstehen (% = Modulo = mod = Divisionsrest):

if((b%2)==1)...   wenn (Divisionsrest von b/2)=1 -> also wenn b ungerade...

aC[d+1]=(aC[d]*aB[i])%c ...  dann wird der Nachfolger aC[d+1] zum Divisionsrest (des Produktes durch c)

aB[i+1]=pow(aB[i],2)%c;  ... Nachfolger Spalte aB = (Vorgänger aB hoch 2) Modulo c 

b=floor(b/2) ...  halbiere Variable b und schneide Nachkommastellen ab

Für richtig große Zahlen, die zig mal größer sind als (alle Atome Weltall) hoch (alle Atome Weltall) 

gibt es PowPowMod unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

hier mit kleinen Zahlen: 2 hoch 1001 hoch 1 Modulo 100:

Answer 4

Ich würde das einfach mal probieren durchzurechnen. Wie man schnell merkt braucht man gar nicht so viele Quadratzahlen wie man eventuell denkt.

Beachte: Alles wird hier MOD 100 gerechnet

2^1001

= 2 * 2^1000

= 2 * 4^500

= 2 * 16^250

= 2 * 256^125

= 2 * 56^125

= 2 * 56 * 56^124

= 2 * 56 * 3136^62

= 2 * 56 * 36^62

= 2 * 56 * 1296^31

= 2 * 56 * 96^31

= 2 * 56 * 96 * 96^30

= 2 * 56 * 96 * 9216^15

= 2 * 56 * 96 * 16^15

= 2 * 56 * 96 * 16 * 16^14

= 2 * 56 * 96 * 16 * 256^7

= 2 * 56 * 96 * 16 * 56^7

= 2 * 56 * 96 * 16 * 56 * 56^6

= 2 * 56 * 96 * 16 * 56 * 3136^3

= 2 * 56 * 96 * 16 * 56 * 36^3

= 2 * 56 * 96 * 16 * 56 * 36 * 36^2

= 2 * 56 * 96 * 16 * 56 * 36 * 1296

= 2 * 56 * 96 * 16 * 56 * 36 * 96

= 2 * 16 * 36 * 56 * 56 * 96 * 96

= 2 * 16 * 36 * 3136 * 9216

= 2 * 16 * 36 * 36 * 16

= 2 * 16 * 16 * 36 * 36

= 2 * 256 * 1296

= 2 * 56 * 96

= 10752

= 52