Finde die letzten beiden Stellen von 123^123

Question

Aufgabe:

Finde die letzten beiden Stellen von 123¹²³

Problem/Ansatz:

Die letzten beiden Ziffern kann man ja mod 100 betrachten. Primfaktorzerlegung von 123 ist 3*41. Ansonsten ist mir noch aufgefallen, dass man die Zahl wie folgt schreiben kann:

123·123·123¹²¹=123·123·123^\( 11^{11} \)

Bringt das etwas?

Ich weiß nicht, wie ich möglichst elegant weitermache, ohne riesige Zahlen zu berechnen.

Comments

Reduziere zuerst zB mit dem Satz von Euler-Fermat

\( 123^{123}\equiv 23^{123} \equiv 23^3 \mod (100) \)

Denn \( \varphi(100)=40 \) und insb ist

\( 23^{40} \equiv 1 \mod (100)\)

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Euler

Answer 1

Hallo

41^5 hat 01 als letze Stelle

3^10 hat 01 als letze Stelle

hilft dir das ?

lul

Comments

Ich bitte schon mal um Entschuldigung bei der Formatierung der Klammern.

123¹²³ =(\( 3^{10)^{12}} \)·\( 3^{3} \)·(\( 41^{5)^{24}} \)·\( 41^{3} \)

\( 3^{3} \)≅27 mod 100

\( 41^{3} \)≅21 mod 100

21·27≅ 67 mod 100

1 hat bei der Multiplikation keinen Einfluss da Neutralelement.

Ergo sind die letzten beiden Ziffern 67.

Stimmt das so?

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Hallo

ja find ich auch

lul