Question

Zeigen Sie, dass 13¹⁰ − 4⁵ von 11 geteilt wird. Die Lösung habe ich bereits doch ich verstehe den Lösungsweg nicht.

Lösung: 2¹⁰ - 4⁵ = 2¹⁰  - 4⁵  = 2¹⁰ - 2¹⁰  = 0 (mod 11)

Eine andere Aufgabe wäre :14²² − 2⁴⁴ von 10 geteilt wird.

Answer 1

Wenn du die Lösung nicht verstehst solltest du sagen ab welcher aussage du Schwierigkeiten hast. Welchen Schritt verstehst du nicht.

14²² - 2⁴⁴ mod 10

= (14 mod 10)²² - 2⁴⁴ mod 10

= 4²² - 2⁴⁴ mod 10

= (2²)²² - 2⁴⁴ mod 10

= 2⁴⁴ - 2⁴⁴ mod 10

= 0

Answer 2

Zeigen Sie, dass 13¹⁰ − 4⁵ von 11 geteilt wird.

Die Lösung habe ich bereits doch ich verstehe den Lösungsweg nicht.

13 hat bei der Division durch 11 den Rest 2, also gilt 

13 ≡ 2 (mod 11) , also auch 13¹⁰ ≡ 2¹⁰  (mod 11) 

Deshalb ist in der Lösung  2¹⁰ - 4⁵ = 2¹⁰  - 4⁵  = 2¹⁰- 2¹⁰  = 0 (mod 11)

Und wenn etwas  = 0 (mod 11) ist, dann heißt das: Es ist durch 11 teilbar.

Eine andere Aufgabe wäre :14²² − 2⁴⁴ von 10 geteilt wird.

Entsprechend ist 14 ≡ 4 (mod 10) , also gilt 

14²² − 2⁴⁴  ≡  4²² − 2⁴⁴ ≡  2⁴⁴ − 2⁴⁴  ≡ 0  (mod 10)