Hallo Oliver,
Behauptung:
A(n): Für alle n∈ℕ gilt : 11n - 22n ist durch 7 teilbar
⇔ Für alle n∈ℕ gilt: 11n - 4n ist durch 7 teilbar
Beweis durch vollständige Induktion:
A(1): 111 - 41 = 7 ist durch 7 teilbar (wahr)
A(n) → A(n+1):
Es gilt: 11n+1 - 4n+1 = 11 * 11n - 4 * 4n = 7 * 11n + 4 * 11n - 4 * 4n
= 7 * 11n + 4 * (11n - 4n)
teilbar durch 7 | teilbar durch 7 nach Induktionvoraussetzng A(n)
Wenn alle Summanden einer Summe durch 7 teilbar sind, dann ist die Summe durch 7 teilbar.
→ 11n+1 - 4n+1 ist durch 7 teilbar.
Gruß Wolfgang