Finde alle a so, dass na-n für jede ganze Zahl n durch ( a2-a ) teilbar ist.

Question

Finde alle $a$ so, dass $n^{a}-n$ für jede ganze Zahl $n$ durch $a^{2}-a$ teilbar ist.

$$a \cdot (a-1) \mid n^{a}-n \quad \forall n \in \mathbb{N}$$ Finde alle $a$.

Answer 1

Eine Lösung wäre a=2.

2·(2-1)=2

n²-n=n(n-1) ist immer gerade, da entweder n oder n-1 gerade sind. Ein Produkt natürlicher Zahlen ist gerade, wenn mindestens einer der Faktoren gerade ist.

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a=3

3·(3-1) = 6

n³-n=n(n²-1)=n(n-1)(n+1) ist durch 3 teilbar, weil das Produkt dreier aufeinander folgender Zahlen immer durch 3 teilbar ist und außerdem mindestens eine gerade Zahl dabei ist.

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a=4

4·(4-1)=12

n⁴-n = n·(n³-1)

Für n=2: 2⁴-2=14

14 ist nicht durch 12 teilbar, also ist a=4 keine Lösung.

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usw. :-)