Zeige, dass Sc nicht leer ist, wenn c durch g teilbar ist.

Question

Aufgabe:

Es sei R = ℤ oder R = K[X] für einen Körpe K. Ferner seien a,b∈R gegeben und es sei g := ggT(a,b). Schließlich seien p,q∈R mit a=pg und b=qg.

Für c∈R sei Sc:= {(x,y)∈R×R∣xa+yb=c}

Zeigen Sie: Für c∈R ist genau dann S_c ≠ ∅, wenn g|c gilt.

Ansatz:

Es ist zu zeigen:

$$S_c \neq ∅  \Longleftrightarrow g|c$$

Zunächst zeigen wir die eine Richtung:

$$S_c \neq ∅  \Longrightarrow g|c$$

Sei S_c ≠ ∅.

Daher gibt es je mindestens ein x,y∈R mit xa+yb = c.

Weiterhin gilt: a=pg ∧ b=qg.

⇒ xpg + yqg = c

⇔ (xp + yq)g = c

(Es gilt a|b, wenn ∃x∈R : xa = b)

Daher gilt g|c und "⇒" wurde gezeigt.

Jetzt muss noch die andere Richtung gezeigt werden:

$$S_c \neq ∅  \Longleftarrow g|c$$

Es gelte g|c.

Daraus folgt: ∃d∈R : dg = c

...

Ab hier habe ich keine Ahnung, wie ich zu "Sc ≠ ∅" komme...

Ein Tipp, was ich im nächsten Schritt machen müsste, wäre schon hilfreich!

Vielen Dank im voraus! :)

MfG,

Doug.

Answer 1

vielleicht so:

Die Menge aller   I_a,b := {xa+yb | (x,y)∈R×R }  bildet für jedes

Paar (a ,b) ein Ideal in R.  Und wenn R ( wie hier )

ein Hauptidealring ist, gibt es ein d∈R , so dass alle

Elemente von I Vielfache von d sind.

Also  ist d der ggT von a und b .

Damit ist jedes Vielfache c des ggT in der Form xa+yb

darstellbar also   Sc nicht leer.