Zeige, dass n durch 4 teilbar ist

Question

Aufgabe:

Sei \( a_{i} \in\left\{-1,\, 1\right\} \) und $$ S=a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}+a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}+\ldots+a_{n-3} a_{n-2} a_{n-1} a_{n}\\\phantom{S=}+a_{n-2} a_{n-1} a_{n} a_{1}+a_{n-1} a_{n} a_{1} a_{2}+a_{n} a_{1} a_{2} a_{3}=0 $$Zeige, dass \( 4\mid n \)

Problem/Ansatz:

Ich habe keinen wirklich… Ich habe versucht das S als Summe zuschreiben $$S=\sum\limits_{i=0}^{n}{a_ia_{i+1}a_{i+2}a_{i+3}}$$ aber diese kann ja nicht so ganz stimmen.

Comments

Hallo

ist das wirklich die Aufgabe?

dann hast du den Index n=4,8,12 usw für S aus einem Glied 1., 2, 3  usw also da du immer 4

was genau bedeutet a1a2a3a4? das Produkt? das ist ja immer 1 oder -1, also Sn ist nicht unbedingt durch 4 teilbar?

Was genau ist also die Frage?  Bitte die Orginalaufgabe

lul

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@lul:

was genau bedeutet a₁a₂a₃a₄? das Produkt?

Ja - das ist das Produkt der ersten vier Elemente der Folge \(a_i\)

das ist ja immer 1 oder -1, also Sn ist nicht unbedingt durch 4 teilbar?

Die Vorgabe(!) ist, dass \(S=0\) sein soll. Zu beweisen ist dann, dass in diesem Fall \(n\) durch 4 teilbar ist.

Die Frage ist IMHO eindeutig und klar.

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Ja, das ist wirklich die ganze original Aufgabe, abgeschrieben vom Übungsblatt wie sie gedruckt wurde. Und wie werner-salomon gesagt hat, soll ich zeigen, dass n durch 4 teilbar ist. Habe nur leider keine Ahnung wie....

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Hallo

Danke  Werner, dumm von mir S=0 zu übersehen!

lul

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Habe nur leider keine Ahnung wie...

Geduld ... ich muss noch drüber nachdenken ;-)

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Hallo,

ich stelle mir vor, dass die Einsen und Minus-Einsen zufällig gewählt und im Kreis angeordnet sind. Dann bildet man die Produkte aus allen nebeneinander stehenden Vierergruppen und addiert die Ergebnisse.

Z.B. für n=6

-1	-1	1
1	-1	1

Es sind 6 Produkte: 1+1-1+1-1+1=2

Wenn die Summe gleich Null sein soll, muss die Anzahl der Summanden gerade sein, da die Anzahl der Summanden +1 und -1 gleich sein muss.

Nun muss noch gezeigt werden, dass es für n=4k+2 nicht funktioniert.

Mal sehen, wie es mit n=8 aussieht.

1	-1	1	-1
1	-1	1	1

1+1-1+1-1-1+1-1=0

In diesem Beispiel klappt's.

Ich vermute, dass die Anzahlen der positiven bzw. negativen Einsen ungerade sein müssen und dass die Differenz der Anzahlen 2 sein muss, da sonst der Summand +1 zu oft auftritt.

:-)

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Wir nehmen mal an, dass \( n \ge 4 \)

Betrachte zuerst eine beliebige Sequenz \( (a_1,...,a_n) \) ohne die Einschränkung \( S = 0 \).

Wenn du da ein \( a_i \) tauschst, also \( -1 \leftrightarrow 1 \). Dann ändern sich der Wert von genau 4 Summanden. Und die tauschen auch einfach ihren Wert \( -1 \leftrightarrow 1 \).

Wenn ein Summanden seinen Wert von \( - 1 \to 1 \) tauscht wird die Summe der neuen Sequenz erst einmal um 2 größer. Wenn er ihn von \( 1 \to -1 \) tauscht wird die Summe der neuen Sequenz um 2 kleiner.

Jetzt können wir sagen was dann insgesamt mit der Summe der resultierenden Sequenz passiert:

Alle 4 Summanden tauschen \( -1 \to 1 \) dann ist die Summe danach um 4*2 größer

3 Summanden tauschen \( -1 \to 1 \) und einer tauscht \( 1 \to -1 \), dann ist die Summe danach um 3*2 - 1*2 = 4*1 größer

2 tauschen \( -1 \to 1 \) und 2 tauschen \( 1 \to -1 \). Summe bleibt unverändert.

usw. usw.

Bei jedem Tausch ändert sich der Wert der Summe um ein Vielfaches von 4.

Jetzt musst du nur noch schauen was passiert, wenn du in einer Sequenz mit S=0 alle -1 in 1 tauschst.

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Danke Monty, ich habe erst jetzt gemerkt und verbessert.

lul

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Vielen dank an alle! Hat mir beim Verstehen der Aufgabe und ihrer Lösung sehr geholfen!!!

Answer 1

Hallo,

ich denke ich habe jetzt einen schlüssigen Beweis zusammen:

Ausgangssituation ist eine Folge von \(n\) Elementen \(a_i\), für die gilt \(S = 0\). Es versteht sich von selbst, dass einige der Elemente \(a_i\) den Wert \(-1\) haben. Jetzt betrachtet man, wie sich die Summe \(S\) verändert, wenn man nach einander jedes Element \(a_i=-1\) in eine \(+1\) umwandelt.

Nach der Vorgabe für \(S\) wird sich die Änderung eines der Elemente \(a_i\) von \(-1\) nach \(+1\) auf 4 Produkte - bzw. Summanden von \(S\) - auswirken. Jeder Summand, der selbst nur den Wert \(\pm1\) haben kann, wird daraufhin sein Vorzeichen ändern.

Die Summe der vier Summanden kann nur die Werte \(-4,\,-2,\,0,\,2\) oder \(4\) haben. Wenn sich nun das Vorzeichen jedes einzelnen dieser 4 Summanden ändert, ändet sich genauso auch nur das Vorzeichen der Summe. D.h. der Betrag der Differenz zum vorhergehenden Wert der Summe kann nur \(8,\,4\) oder \(0\) betragen.

Und damit ändert sich der Wert von \(S\) auch nur um \(8,\,4\) oder \(0\). Berechnet man nun jedesmal dem Modulo von \(S\) zu \(4\) so bleibt dieser Wert konstant! Sind alle \(-1\)'en in \(+1\) verwandelt worden, so wird \(S=n\) sein. Und da \(S\) am Anfang der Veränderung \(=0\) war - und somit auch der Modulo zu \(4\) gleich \(0\) war, muss das auch für \(n\) gelten.

Daraus folgt \(n \equiv 0 \mod 4\) bzw. \(4\mid n\).

Gruß Werner

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Vielen lieben Dank!