Zahlentricks: Warum ist das Spiegelbild einer Zahl durch 11 teilbar?

Question

Hi, die Aufgabe lautet:

Was steckt hinter folgenden Zahlentricks:
c) Denken Sie sich irgendeine Zahl, spiegeln Sie sie und schreiben Sie das Spiegelbild hinter die
ursprüngliche Zahl. (Wenn Sie sich zum Beispiel die Zahl 578931 gedacht haben, so schreiben
Sie 578931139875.) Ich sage Ihnen voraus, dass die aufgeschriebene Zahl durch 11 teilbar ist.

Jetzt habe ich so begonnen:

a, b, c element von {0, 1, 2, ... , 9}
n element N

abc...cba = a*10^(n) + b*10^(n-1) + c*10^(n-2) + ... + c*10^2 + b*10^1 + a*10^0
= a (10^n + 10^0) + b (10^(n-1) + 10^1) + c(10^(n-2) + 10^2) + ...

Nun weiß ich, dass die geklammerten Terme durch 11 teilbar sind, doch wie begründe ich dies?
Vielen Dank

Comments

Was ist denn \(n\) ? Mit deiner Rechnung stimmt was nicht. Z.B. ist 10² + 10⁰ nicht durch 11 teilbar.

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Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre Querdifferenz (die Differenz aus der Summe der an ungeraden Stellen stehenden Ziffern und der Summe der an geraden Stellen stehenden Ziffern) durch 11 teilbar ist.

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Vermutlich meinst du sowas wie: 10^2n-k + 10^k-1 ≡ (-1)^2n-k + (-1)^k-1 ≡ (-1)^k + (-1)^k-1 ≡ 0 mod 11 für k=1,...,n.

Answer 1

Kennst du den Trick mit der alternierenden Quersumme ?

Also so: Wenn du z.B. die Zahl abcde hast, ist die durch 11 teilbar, wenn

a-b+c-d+e durch 11 teilbar ist, weil es ja so ist:

a*10^4 + b*10^3 +c*10^2 + d*10 + e

= a*(9999+1)+b*(1001-1)+c*(99+1)+d*(11-1) + e

Und weil die Zahlen mit einer geraden Anzahl von 9er Ziffern

immer durch 11 teilbar sind ( also die von der Form 10^(2n) - 1)

und die mit 10^(2n+1) + 1 auch, ergibt die Zahl

abcde immer eine durch 11 teilbare Zahl + die alternierende Quersumme.

Bei deinen Palindromen ist die alternierende

Quersumme immer 0, also die Zahl durch 11 teilbar.

Answer 2

Deine Lösung hat einen richtigen Ansatz, ist jedoch leicht falsch und nicht zu Ende gedacht:

\( abcd\dots \longrightarrow \underbrace{abcd\dots dcba}_{2n\text{ Ziffern}} \)

Damit:

\( \begin{aligned} abcd\dots dcba &= a*10^{2n-1}+b*10^{2n-2}+c*10^{2n-3}+d*10^{2n-4}+\dots+d*10^3+c*10^2+b*10+a \cr               &= a\left(10^{2n-1}+1\right) +10b\left(10^{2n-3}+1\right) +100c\left(10^{2n-5}+1\right) +1000d\left(10^{2n-7}+1\right) +\dots \cr  \end{aligned} \)

Für die Klammern gilt:

\( \begin{aligned}       11 &=      0+11 =      0*11+11 \cr     1001 &=    990+11 =    090*11+11 \cr   100001 &=  99990+11 =  09090*11+11 \cr 10000001 &= 9999990+11 = 0909090*11+11 \cr   \vdots \cr 1\underbrace{00\dots00}_{(2n-2)\times 0}1 &= \underbrace{99\dots99}_{(2n-2)\times 9}0+11 \cr \end{aligned}\)

Comments

Das weiß ich selber; wenn Du weißt, woran es liegt, bessere es aus.

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Huhu,

hab es ausgebessert. KaTeX kennt kein "eqalign". Hier verwendet man "\begin{aligned} ... \end{aligned}"

Grüße