Vollständige Induktion: Für alle n element N n>1 für (2^(2^n))+1 ist die letze Ziffer stets eine 7. Beweise.

Question

ich verzweifle an dieser Aufgabe und hoffe mir kann jemand einen Tipp geben. Mein Ansatz ist es, aus der +1 eine +4 zu machen und dann die Teilbarkeit von (2^(2^n))+4 mit 10 zu beweisen. Also muss ((2^(2^n))+4)/10 element von N sein. Ich weiß nicht ob dieser Weg überhaupt legitim ist und rechnerisch sinnvoll. Am Ende habe ich beim Induktionsschritt durch umformen raus: (((2^(2^n)))^2)+4)/10. Kann ich hierbei schon sagen dass dies zutrifft da das Quadrat von (2^(2^n)) wiederum eine 2er Potenz ist? Ist die Umformung überhaupt richtig? Mein anderer Lösungsweg würde über Fermat gehen, da der Term (2^(2^n))+1 eine Primzahl ergibt welche zusätzlich auf 7 endet. Wie ich das über v.I beweise weiß ich aber nicht...

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen, danke im Voraus!

Comments

ob dieser Weg überhaupt legitim ist und rechnerisch sinnvoll.

legitim - ja! sinnvoll - nein!

(((2^(2ⁿ)))²)+4)/10. Kann ich hierbei schon sagen dass dies zutrifft da das Quadrat von (2^(2ⁿ)) wiederum eine 2er Potenz ist?

Nein - aus der Tatsache, dass dies eine 2-er-Potenz ist kann man noch nicht auf die Teilbarkeit durch 10 schließen.

Mein anderer Lösungsweg würde über Fermat gehen, da der Term (2^(2n))+1 eine Primzahl ergibt welche zusätzlich auf 7 endet. Wie ich das über v.I beweise weiß ich aber nicht...

Oh - wenn Du das beweisen kannst, da kannst Du in die Analen der Mathematik eingehen ;-) Aber IMHO stimmt es gar nicht.

Es reicht doch hin, zu zeigen, dass \(2^{\left( 2^n \right)}\) für \(n \gt 0 \) immer auf \(6\) endet (s. Antwort von Roland) Falls noch was unklar ist, so melde Dich bitte.

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Okay, danke. Jetzt habe ich auch verstanden, weshalb ich die Teilbarkeit durch 10 nicht aus meinem Ergebnis folgern kann! Ich nehme den Ansatz von Roland, welchen Sie auch empfehlen. Danke für die Bestätigung und die einzelnen Hinweise zu meiner Frage :)

LG

Answer 1

Ind.Anf.: 2^{2^2}+1=2⁴+1=17

Es genügt, zu zeigen, dass 2^{2^n} auf 6 endet:

2^{2^(n+1)}=2^{2^n·2}=(2^{2^n})²

Ind.Vor.: 2^{2^n} endet auf 6

Schluss: Das Quadrat einer auf 6 endenden Zahl endet auf 6, also endet 2^{2^(n+1)} auf 6.

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Okay, vielen Dank für den Hinweis, ich hab es mir da etwas verkompliziert. Funktioniert mein Ansatz mit der Teilbarkeit durch 10 trotzdem oder sollte ich das lieber lassen?