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Aufgabe:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass 3 stets ein Teiler von n3 n ist – für alle n N

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kann mir jemand zeigen, wie das geht?

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Vom Duplikat:

Titel: Vollständige Induktion Beweise, dass 6 Teiler ist von n^3 - n für alle natürlichen Zahlen n.

Stichworte: induktion,teiler,sechs,vollständige-induktion

Beweisen Sie unter Verwendung der vollständigen Induktion, dass

∀n ∈ N: 6 | n3− n

2 Antworten

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dass 3 stets ein Teiler von n3 n

für 1 ist es wahr.

Sei es wahr für n, dann gilt

(n+1)3 - (n+1)

= n3 + 3n2 + 3n + 1 - n - 1

=
n3  - n  + 3n2 + 3n

= ( n3  - n)   + 3( n2 + n )

Der erste Summand ist durch 3 teilbar nach Ind. vor.

und der zweite, weil er den Faktor 3 enthält.


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+1 Daumen

Hilssatz: ∀n ∈ N: 6 | 3(n+1)n

Beweis des Hs.: Entweder n+1 oder n ist gerade.

Vollst Ind.:

Vorauss.: ∀n ∈ N: 6 | n3− n. Den Hs addieren

6 | n3− n + 3(n+1)n umformen zu

6 | n3− n + 3n2+3n +1 - 1 und dann

6 | (n+1)3− (n +1)

Was zu zeigen war.

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