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ZeigenSie,dass2n+1fu¨rallenNeinTeilervon32n1ist.(Hinweise : Induktionunda2b2=(ab)(a+b).)Zeigen\quad Sie,\quad dass\quad { 2 }^{ n+1 }\quad für\quad alle\quad n∈N\quad ein\quad Teiler\quad von\quad { 3 }^{ { 2 }^{ n } }−1\quad ist.\\ (Hinweise:\quad Induktion\quad und\quad { a }^{ 2 }−{ b }^{ 2 }=(a−b)(a+b).)

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IA: n = 0

32^0 - 1 ist durch 20 + 1 teilbar.

2 ist durch 2 teilbar.

stimmt

IS: n --> n + 1

32^{n + 1} - 1 ist durch 2n + 2 teilbar.

32·2^n - 1 ist durch 2·2n + 1 teilbar.

(32^n)2 - 1 ist durch 2·2n + 1 teilbar.

(32^n - 1)·(32^n + 1) ist durch 2·2n + 1 teilbar.

32^n - 1 ist per Induktionsannahme durch 2n + 1 teilbar.

(32^n + 1) ist eine Ungerade Zahl plus 1 also eine gerade Zahl und damit durch 2 teilbar.

Damit ist die Behauptung gezeigt.

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