Vollständige Induktion (mit Teiler)

Question

Aufgabe:

Sei \( A(n):=7 \mid\left(3^{2 n-4}-2^{n-2}\right) \) und \( \mathbb{N}_{\geq 2}:=\{n \in \mathbb{N}: n \geq 2\} \). Zeigen Sie mittels Vollständiger Induktion: \( \forall n \in \mathbb{N}_{\geq 2}: A(n) \).

Problem/Ansatz:

Bis zur Induktionsbedingung hab ich alles ohne Probleme. Doch beim Induktionsschritt komm ich einfach nicht weiter.

Vielen Dank im Voraus!

Mfg. Ben

Answer 1

Wenn du statt n jetzt n+1 einsetzt, ist der neue Term \(3^{2n-2}-2^{n-1}\).

Das ist aber

\(9\cdot 3^{2n-4}-2\cdot 2^{n-2}=(7\cdot 3^{2n-4}+2\cdot 3^{2n-4})-2\cdot 2^{n-2}\\=7\cdot 3^{2n-4}+(3^{2n-4}-2^{n-2})\).

Der letzte Term ist eine Summe, bei der der erste Summand wegen des Faktors 7 durch 7 teilbar ist, und der zweite Summand ist der Term aus der Induktionsvoraussetzung.

Comments

Fehlt beim letzten Term ein Faktor 2?