Beweis durch vollständige Induktion: 48 ist Teiler von 5^2n + 24n - 1.

Question

die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie per vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N gilt:

48 ist Teiler von 5²ⁿ + 24n - 1.

Ich habe bisher so gemacht:

Induktionsanfang:

5^2+24-1 =48.  48 ist Teiler von 48.

Induktionsschritt:

5²ⁿ⁺² + 24n + 23= 5²ⁿ 5² + 24n + 23 = 5²ⁿ25 + 24n + 23

Wie gehe ich weiter??

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Zu zeigen:

5^(2·n) + 24·n - 1 ist durch 48 teilbar

Induktionsanfang: n = 1

5^(2·1) + 24·1 - 1 ist durch 48 teilbar.
48 ist durch 48 teilbar.
wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

5^(2·(n + 1)) + 24·(n + 1) - 1 ist durch 48 teilbar
25·5^(2·n) + 24·n + 24 - 1 ist durch 48 teilbar
(5^(2·n) + 24·n - 1) + (24·5^(2·n) + 24) ist durch 48 teilbar
(5^(2·n) + 24·n - 1) + 24·(5^(2·n) + 1) ist durch 48 teilbar

der erste Summand 5^(2·n) + 24·n - 1 ist durch Induktionsvoraussetzung durch 48 teilbar.

Damit 24·(5^(2·n) + 1) durch 48 teilbar ist muss 5^(2·n) + 1 durch 2 teilbar sein. Das Produkt ungerader Zahlen ist wieder eine ungerade Zahl. Addiert man 1 zu einer ungeraden Zahl so erhält man eine gerade Zahl. Damit ist also auch der zweite Summand durch 48 teilbar.

Answer 2

= 5^{2n}25 + 24n + 23

= 24*5^{2n} + 5^{2n} + 24n + 24 - 1

= (24*5^{2n} + 24) + (5^{2n} + 24n - 1)

= 24*(5^{2n} + 1) + (5^{2n} + 24n - 1)