Vollständige Induktion: Bsp. Zeige, dass 6 Teiler ist von (3^n-3)

Question

im Rahmen der Prüfungsvorbereitung hat mein Matheprof ein paar Aufgaben erstellt, an denen ich mir gerade die Zähne ausbeiße. Es geht um vollständige Induktion und generell habe ich dieses Thema im Groben und Ganzen verstanden, jedoch hänge ich immer wieder beim Induktionsschritt und weiß im Endeffekt nicht, wie ich auf das gewünschte Ergebnis kommen soll.

Vielleicht findet sich jemand, der mir vielleicht helfen kann? Ich bin natürlich für jede Antwort dankbar, aber mir geht es vor allem darum, zu verstehen, wie man auf eine Lösung kommt.

Hier die Aufgaben:

Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass die folgenden Aussagen wahr sind.

a.) Für alle n ∈ ℕ gilt: 6 I (3ⁿ-3)

b.) Für alle  n ∈ ℕ gilt: 1·1!+2·2!+...+n·n! = (n+1)!-1

c.) Für alle  n ∈ ℕ gilt: 3 I (5⁽²ⁿ⁺¹⁾+13ⁿ)

Danke schon mal für jeden, der sich erbarmt und mir antwortet! :)

Liebe Grüße

Comments

Also zu c.) hab ich jetzt eine Lösung. Es wäre also mega lieb, wenn jemand drüber schauen könnte.

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Schau mal bei den ähnlichen Fragen. Bsp. https://www.mathelounge.de/506678/vollstandige-induktion-teilbarkeit-zeige-15n-durch-teilbar

Du hast ja bloss andere Zahlen und kannst a) und c) nun bestimmt selber. 

Bei 3|138 kannst du daneben schreiben "denn 1+3+8 = 12 = 3*4 " [Diese Teilbarkeitsregel darfst du sicher voraussetzen. Sonst einfach, "denn 138 = 3*46 ". D.h. du solltest 3|138 noch irgendwie begründen. 

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Wer hat schon Lust (oder Zeit) , bzgl. einer Frage 3 Aufgaben zu bearbeiten?

Halte dich an unsere Schreibregeln und stell die Aufgaben einzeln ein.

https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Answer 1

Deine Lösung zu c) ist doch prima.

Ich versuche mal b) 

Für alle  n ∈ ℕ gilt: 1·1!+2·2!+...+n·n! = (n+1)!-1

spannend ist ja wohl nur der IS:

1·1!+2·2!+...+n·n! +(n+1)*(n+1)!

=           (n+1)! - 1    +(n+1)*(n+1)!

=        (n+1)!     +(n+1)*(n+1)!   -  1

vorne (n+1)! ausklammern

=     (n+1)! * ( 1 + (n+1) )    -  1

=     (n+1)! * ( n+2 )    -  1

=     ( n+2 ) !    -  1   Bingo !