Vollständige Induktion: 11^n - 2^{2n} wird für jede natürliche Zahl n durch 7 geteilt.

Question

11^n - 2^{2n} wird für jede natürliche Zahl n durch 7 geteilt.

Answer 1

11ⁿ⁺¹ - 2²⁽ⁿ⁺¹⁾

= 11·11ⁿ - 4·2²ⁿ

= 7·11ⁿ + 4·11ⁿ - 4·2²ⁿ

= 7·11ⁿ + 4·(11ⁿ - 2²ⁿ)

Comments

Ist aber kein Vielfaches von 7 ?

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Doch, wenn 11ⁿ - 2²ⁿ ein Vielfaches von 7 ist.

Answer 2

Hallo Oliver,

Behauptung:

A(n):  Für alle n∈ℕ gilt :   11ⁿ - 2²ⁿ  ist durch 7 teilbar   

          ⇔  Für alle n∈ℕ gilt:  11ⁿ -  4ⁿ  ist durch 7 teilbar

Beweis durch vollständige Induktion:

A(1):  11¹ - 4¹  =  7  ist durch 7 teilbar  (wahr)

A(n)  →  A(n+1):   

 Es gilt: 11ⁿ⁺¹ - 4ⁿ⁺¹  =  11 * 11ⁿ -  4 * 4ⁿ  =  7 * 11ⁿ + 4 * 11ⁿ -  4 * 4ⁿ   

                                    =  7 * 11ⁿ  +  4 * (11ⁿ - 4ⁿ)  

                     teilbar durch 7  |  teilbar durch 7 nach Induktionvoraussetzng  A(n)

          Wenn alle Summanden einer Summe durch 7 teilbar sind, dann ist die Summe                      durch 7 teilbar.

           →   11ⁿ⁺¹ - 4ⁿ⁺¹   ist durch 7 teilbar.

Gruß Wolfgang