Finde die letzten beiden Ziffern von 86421^42124

Question

Aufgabe:

Finde die letzten beiden Ziffern von 86421⁴²¹²⁴

Problem/Ansatz:

Also ich habe so angefangen, dass ich φ(100) bestimmt habe.

φ(100) = 40 daraus folgt, dann dass : 86421⁴⁰ ≡ 1 mod 100 ist.

Meine Idee war nun 86421⁴²¹²⁴ so aufzuschreiben : ( 86421⁴⁰ )¹⁰⁵³ * 86421⁴ mod 100 wäre das so richtig?

Dann wäre 86421^40 = 1 und es bleibt 86421^4 soll ich das dann weiter zerlegen ? Wie soll ich da vorgehen?

Für jede Antwort/Tipp wäre ich sehr dankbar! :)

Answer 1

Hallo

gut bis dahin und 21^4 kannst du ja leicht rechnen.

anderer Weg 21^5=...101, deshalb (21^5)^n=1  aber das Ergebnis ist dasselbe.

Gruß lul

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Ach! Alles klar, vielen Dank! :))

Answer 2

86421^42124 MOD 100
= (86421 MOD 100)^42124 MOD 100
= 21^42124 MOD 100
Satz von Euler: φ(100) = 40 → 21^40 MOD 100 = 1
= 21^(42124 MOD 40) MOD 100
= 21^4 MOD 100
= 441^2 MOD 100
= 41^2 MOD 100
= 1681 MOD 100
= 81

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Vielen Dank für die Antowrt! :)

Answer 3

Einfach eine Liste machen

21^1=..21

21^2=..41

21^3=. 61

21^4=..81  xxxxxxxx

21^5=..01

21^6= ..21

41124Ξ4 mod 5

d.h die letzten beiden Ziffern von

86421^41124  sind die 8 und die 1

:-)

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Vielen Dank für den Tipp, ich werde mir das merken! :)