Question

Berechnen Sie die letzten zwei Ziffern der Dezimalzahl7⁵¹⁹ - 54

Answer 1

Die Potenzen von 7 enden aus 01, 07, 49, 43 und immerso weiter für die Exponenten 0,1 ,2 ,3, ....(519-3)/4 = 129  Das heißt: Die Endzifferfolge 01, 07, 49, 43 wurde 129 mal durchlaufen und die Endziffern sind wieder 01. Drei Potenzen weiter sind die Endziffern dann 43.

Comments

Kannst du das vielleicht mal genauer erklären? Ich sitz nämlich vor der selben Aufgabe, blick aber bei der Antwort nicht durch. Was genau muss man denn tun? Kenne das nämlich nur so, dass man beispielsweise 33¹¹⁹ berechnet, mit modulo 100 ... aber so?!

---

Meine Lösung beruht auf der Erfahrung, dass sich die Endziffern von Potenzen, deren Exponenten die natürlichen Zahlen durchlaufen, periodisch wiederholen. Bei den Potenzen von 7 wiederholen sich sogar die letzten beiden Ziffern mit einer recht kurzen Periode. Hier weiß man, dass jede vierte Potenz das gleiche Endzifferpaar hat. Man weiß also, dass 7⁴, 7⁸, 7¹², 7¹⁶,... auf 01 enden (wie 7⁰). Jetzt weiß man, dass 7⁵¹⁶ ebenfalls auf 01 endet und die Potenzen danach der Reihe nach auf 07, 49, 43 enden. 7⁵¹⁶ endet auf 01, 7⁵¹⁷ endet auf 09, 7⁵¹⁸ endet auf 49, 7⁵¹⁹ endet auf 43.

---

:)

ich habe eine kurze Frage dazu, woher weiss man, dass jede vierte potenz von 7 gleiche endziffern haben. Gibt es dafür formel?

Jany

---

Die ersten  Potenzen einer einstellgen Zahl berechnt man mit dem Taschenrechner. Dann sieht man bereits, wie lang die Periode ist. Man kann es aber auch mit modularer Arithmetik machen (siehe Antwort von az0815).

Answer 2

$$ 7^{519}-54=7^{3 + 4 \cdot 125 }-54 = 343 \cdot 2401^{125}-54 \equiv 89 \mod 100. $$

Answer 3

7^519 mod 100

= 7 * 7^518 mod 100

= 7 * 49^259 mod 100

= 7 * 49 * 49^258 mod 100

= 7 * 49 * 1^129 mod 100

= 343 mod 100

= 43

Also deine Aufgabe

43 - 54 + 100 mod 100 = 89