Die Idee mit mod 100000 ist doch schon mal gut. Kein TR wird Dir das Ergebnis mit allen 156 Stellen ausgeben. Mache Dir eine Tabelle, so wie die hier: $$\begin{array}{rrr}n & & 3^n \,^{*)}\\ \hline 327& 8177042329& 26987\\ 163& 8612396809& 90427\\ 81& 829497601& 92803\\ 40& 7123528801& 28801\\ 20& 3486784401& 84401\\ 10& 59049& 59049\\ 5& 81& 243\\ 2& 9& 9\\ 1& & 3\end{array} \\ *) \mod 10^5$$ Oben links steht die 327 darunter jeweils der ganzzahlige Anteil der Hälfte dieser Zahl. Also \(163 = \lfloor 327/2\rfloor\), \(81= \lfloor 163/2\rfloor\) usw. bis die \(1\) erreicht wird. Ganz unten rechts in der Zeile mit der \(1\) schreibst Du die \(3\) hin. In der mittleren Spalte steht jeweils das Quadrat der Zahl aus der dritten Spalte und eine Zeile tiefer. Und in der dritten Spalte wird dieses Quadrat genau dann nochmal mit 3 multipliziert, wenn die Zahl in der ersten Spalte ungerade ist. Anschließend wird in jedem Fall noch \(\mod 100000\) gerechnet.
Rechts oben steht Dein Ergebnis \(3^{327} \equiv 26987 \mod 100000\)
