allgemeine Formel für die Taylorkoeffizienten

Question

brauche Hilfe bei folgender Aufgabe

die Funktion ist f(x)= xe^-x

Entwicklungspunkt: x₀=0

die Taylorreihe die sich daraus ergibt ist:

x-x²+x³/2-x⁴/6

nun soll ich die allgemeine Formel für die Taylorkoeffizienten a_n angeben...

Wie muss ich vorgehen ?

Kann mir das jemand Schritt für Schritt erklären ?

Answer 1

f(x)= xe^-x

f'(x)= 1*e^-x -x* e^-x = e^-x - x e^-x

f''(x)= -e^-x-(1*e^-x -x* e^-x)=-2*e^-x + xe^-x

f'''(x)=3*e^-x - xe^-x

n-te Abl.: fn(x)= n*e^-x + (-1)^n * xe^-x =e^-x*( n + (-1)^n )

Das kannst du jetzt mit vollständiger Induktion für n=2 und n=n+1 beweisen.