Integral von sin^2(x) mit partieller Integration bestimmen.

Question

Wie kann ich das mit der partiellen Integration lösen?

\( I_{3}:=\int \sin ^{2} x d x \)

Ich hab irgendwas von Reduktionsformel gehört, weiß aber nicht, wie das funktionieren soll.

Answer 1

es handelt sich um einen bekannten Trick, da sich das zu untersuchende Integral reproduziert:

∫sin^2(x)dx=∫sin(x)*sin(x)dx               partielle Integration

=-cos(x)*sin(x)+∫cos^2(x)dx             sin^2(x)+cos^2(x)=1

=-cos(x)*sin(x)+∫(1-sin^2(x)))dx

=-cos(x)*sin(x)+x-∫sin^2(x)dx

-->∫sin^2(x)dx=-cos(x)*sin(x)+x-∫sin^2(x)dx

-->2*∫sin^2(x)dx=-cos(x)*sin(x)+x

∫sin^2(x)dx=[-cos(x)*sin(x)+x]/2

Comments

Wieso Teile ich am Ende durch 2?

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Auf der linken Seite steht 2*Integral

Man möchte nach dem Integral auflösen, daher teilt man durch 2.

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Klar -.- danke :)

Noch eine Frage:

Finde leider nix dazu, dass cos² (x) = 1 - sin² (x) ist.

Kann mir jemand sagen warum das so ist ist oder ist das zu aufwendig?

PS: habe unter diesem Link z.B. nix finden können, vielleicht bin ich aber auch blind.

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/trigsimpl.htm

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Das ist der trigonometrische Pythagoras nach sin^2(x) umgestellt, schau mal hier nach:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Trigonometrischer_Pythagoras

Answer 2

∫ sin^2 (x) dx = ∫ sin(x) * sin(x) dx   partiell

                     = cos(x) * sin(x) - ∫ cos (x) * ( -cos(x))  dx

                      = cos(x) * sin(x) +  ∫  cos(x)^2  dx

                      = cos(x) * sin(x) +  ∫  ( 1 - sin(x)^2 ) dx
                   = cos(x) * sin(x) +   x   -   ∫  sin(x)^2 ) dx

also
2 ∫ sin^2 (x) dx = cos(x) * sin(x) +   x
   ∫ sin^2 (x) dx = (cos(x) * sin(x) +   x) / 2

Answer 3

dazu brauchst Du keine part.Integration

sin^2(x)= 1/2 (1-cos(2x))

ansonsten wirst Du hier fündig.

http://www.integralrechner.de/