Integral (0 bis pi) von sin(x)*sinh(x) mit partieller integration. wahl von f´und g hier beliebig?

Question

gesucht ist das Integral ∫ sin(x)*sinh(x) dx in den Grenzen 0 bis π.

Nach einmaliger partieller Integration mit g´=sinh(x) und f=sin(x) komme ich auf ∫ sin(x)*sinh(x) dx = [sin(x)*cosh(x)] -∫cos(x)cosh(x) dx

Wenn ich ∫cos(x)cosh(x) dx  mit g´=cos(x) und f=cosh(x) nochmal integriere erhalte ich ja nach Einsetzen der Grenzen 0=0, weil sich die Integrale wegkürzen. Wenn ich bei ∫cos(x)cosh(x) dx  aber g=cos(x) und f´=cosh(x) wähle komme ich  auf das richtige Ergebnis (sinh(π)/2).

Wieso führen beide Wege nicht zum richtigen Ergebnis? Liegt es daran, dass ich bei der ersten partiellen Integration eine trigonometrische Funktion ableite (f=sin(x) ) und bei der zweiten partiellen Integration eine trigonometrische Funktion integriere (g´=cos(x) )  ?

Answer 1

Zuerst einmal solltest Du begreifen, dass ein Akzent und ein Apostroph nicht das gleiche sind.

Zum anderen: Mit trigonometrischen Funktionen hat das nichts zu tun. Aber wenn Du nicht aufpasst, dann macht die zweite Integration die erste wieder rückgängig.

Comments

Der Fall ist bei mir wohl eingetreten, dass ich die erste partielle Integration wieder rückgängig gemacht habe.

Wie erkenne ich denn bei meinem Beispiel, dass ich bei der zweiten partiellen Integration den zweiten Weg nehmen muss wie ich es im Text oben geschrieben habe?

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Im ersten Fall hast Du g' = sinh, dann f = cosh, d.h. die hyp. Funkt. wird erst integriert, dann wieder abgeleitet. Genauso die andere: f = sin, dann g' = cos. Erst abgeleitet, dann wieder integriert.

(Und 0 = 0 ist sehr wohl richtig, auch wenn es nicht das ist, was Du gerne hättest.)

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Und zum Beispiel ∫ cos²(x) dx geht auch nicht direkt mit 2x partiell integrieren sondern nur indem man bei der zweiten partiellen Integration ein Additionstheorem anwendet?

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\( \int \cos^2 = \int \cos\cdot\cos \) lässt sich auf viele Weisen integrieren:

(1) partiell, führt auf \( \int \sin^2 = \int 1-\cos^2 \). Das lässt sich nach \( \int \cos^2 \) auflösen

(2) Du verwendest von Anfang an trigon. Formeln \( \sin^2 = \dots \)

(3) (Das ist jetzt ganz gemein) Du verwendest Integration durch Subst. Dort gehst Du von einer inneren Funktion \( \phi \) aus und brauchst \( f(\phi) \) und \( \phi' \). Hier gilt dann \( \phi = \sin \), \( f(\phi) = \int -\phi = \cos \) und \( \phi' = \cos \).