markow ketten mit drei Zuständen

Question

Es gibt drei wetterzustände: sonne, Nebel und regen.wenn heute die sonne scheint, dann liegt die Wahrscheinlichkeit, dass morgen auch die Sonne scheint bei 50%, dass es jedoch nebelig ist bei 20% und das es regnet bei 30%.wenn es heute nebelig ist, dann liegt die Wahrscheinlichkeit, dass morgen die sonne scheint bei 20%, dass es nebelig bleibt bei 70% und dass es regnet bei 10%. wenn es heute regnet, dann liegt die Wahrscheinlichkeit, dass morgen die sonne scheint bei 15%, dass es nebelig ist bei 75% und dass es weiterhin regnet bei 10%.berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten und stellen Sie sie Lösungen ausführlich dar. gehen Sie davon aus, dass heute Freitag ist und die sonne scheint.1. Wahrscheinlichkeit, dass Samstag auch die Sonne scheint.2. Wahrscheinlichkeit, dass Samstag und Sonntag die sonne scheint.3. Wahrscheinlichkeit, dass Sonntag die sonne scheint.4.geben Sie die wetterverteilung für seinen ersten Sonntag an.5.geben sie die wetterverteilung bei der abreise am folgenden Sonntag an.

Answer 1

Kannst ja mal erst einen Graphen zeichnen, sieht wohl so aus:

Und dann anwenden, was ihr so über Markowketten gelernt habt.

Die erste Frage ist ganz einfach:

Heute Fr. ist Zustand S, damit morgen auch S ist, klappt nur über

den Pfeil von S nach S also p=0,5 = 50%.

Samstag und Sonntag Sonnenschein geht auch nur durch die

Folge S  S   S    also  p= 0,5*0,5 = 0,25 = 25%

3. Wahrscheinlichkeit, dass Sonntag die sonne scheint.

das geht über   S S S   oder  S N S   oder S R S

also p = 0,5*0,5 + 0,2*0,2  + 0,3 * 0,15 = 0,335 = 33,5 %

Answer 2

Ein Graph ist zwar schön zum visualisieren. Rechnen tut man aber am besten mit einer Matrix, die die Zustandsänderungen beschreibt.

M = [0.5, 0.2, 0.15; 0.2, 0.7, 0.75; 0.3, 0.1, 0.1]

1. P(Samstag Sonne) = 0.5 = 50%

2. P(Samstag und Sonntag Sonne) = 0.5 * 0.5 = 0.25 = 25%

3. [0.5, 0.2, 0.15; 0.2, 0.7, 0.75; 0.3, 0.1, 0.1]^2 * [1; 0; 0] = [0.335; 0.465; 0.2] --> 33.5%

4. Sonne: 33.5%, Nebel: 46.5%, Regen: 20%

5. [0.5, 0.2, 0.15; 0.2, 0.7, 0.75; 0.3, 0.1, 0.1]^9 * [1; 0; 0] = [0.2747; 0.5704; 0.1549] --> Sonne: 27.47%, Nebel: 57.04%, Regen: 15.49%

Sollten Fragen auftreten, dann melde dich kurz. Ist in eurem Buch das Thema Markow-Ketten gut erklärt?

Comments

Erstmal viele dank für die antwort! Dennoch vestehe ich nicht ganz, wie sich Aufgabe 4 und 5 zusammensetzt bzw. wie man darauf genau kommt. Und das Thema Marow Ketten ist nicht allzu gut erklärt,, habe noch ein paar Veständnisprobleme.

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Ich habe hier auch leider nicht so gerechnet wie man es schriftlich machen würde.

Du hast den Zustandsvektor am Freitag v0 = [1; 0; 0]. Das bedeutet das am Freitag zu 100% die Sonne scheint.

Wenn wir jetzt die Zustände am Samstag (nächster Tag) berechnen wollen multiplizieren wir unsere Matrix M mit dem Vektor v0.

v1 = M * v0 = [0.5, 0.2, 0.15; 0.2, 0.7, 0.75; 0.3, 0.1, 0.1] * [1; 0; 0] = [0.5; 0.2; 0.3]

Wenn wir jetzt die Zustände am Sonntag (übernächster Tag) berechnen wollen multiplizieren wir unsere Matrix M mit dem Vektor v1.

v2 = M * v1 = [0.5, 0.2, 0.15; 0.2, 0.7, 0.75; 0.3, 0.1, 0.1] * [0.5; 0.2; 0.3] = [0.335; 0.465; 0.2]

Hier kann man jetzt sowohl die Antwort für Aufgabe 3. als auch für Aufgabe 4 ablesen.

Wenn wir bei Aufgabe 5. jetzt das Wetter am übernächsten Sonntag berechnen sollen brauchen wir v9. Entweder rechnet man das mit einem TR aus der das kann oder wir rechnen zu hand weiter bis wir v9 erreichnen.

v3 = M * v2

v4 = M * v3 = M * (M * v2) = M * (M * (M * v1)) = M * (M * (M * (M * v0))) = M^4 * v0

Sollte dein TR also Potenzen von Matrizen berechnen können ist das mit dem TR schneller zu berechnen.

Noch Fragen dazu?

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Achsoo, ok jetzt wird alles verständlicher! Dankesehr!

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Wie würde aber bei der Aufgabenstellung die Übergangsmatrix aussehen?

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Die Übergangsmatrix M hatte ich doch bereits oben in meiner Antwort notiert. Dabei trennt das Simikolon die Zeilen voneinander ab.