Matrizenrechnung: Stochastische Populationsentwicklungen. Bsp. Computervirus kommt in drei Zuständen vor.

Question

Ein Computervirus kommt in drei Zuständen vor: Er ist Bestandteil einer E-Mail und verursacht dort zunächst keinen Schaden (Z1). Im Laufe eines Monats werden 10% der sich in E-Mails befindlichen Viren aktiviert und beginnen das Betriebssystem zu verändern (Z2). Die übrigen verbleiben in dem Zustand (Z1). Nur jeder Fünfte dieser aktivierten Viren (Z2) wechselt innerhalb eines Monats in den 3. Zustand (Z3). Die restlichen aktivierten Viren löschen sich selbst.  Im 3. Zustand verschickt der Virus innerhalb eines Monat 25 infizierte E-Mails und zerstört sich anschließend selbst durch Formatierung der Festplatte.

Zu Beginn des Jahres 2019 erhielten 5600 Einwohner einer Stadt A eine infizierte E-Mail. Der Internetprovider sieht zwei Möglichkeiten diesen Virus zu bekämpfen. Bekämpfungsalternative A: 80% der infizierten E-Mails werden auf dem Wege zum Empfänger herausgefiltert und unschädlich gemacht. Bekämpfungsalternative B: Eine andere Möglichkeit die Verbreitung der Viren einzudämmen, besteht darin, einen Teil der infizierten E-Mails auf dem Computer zu löschen.

Aufgaben

. Untersuchen Sie die ungehemmte langfristige Entwicklung des Computervirus mit den Mitteln der Matrizen- und Vektorrechnung für die Stadt A. Berechnen Sie auch den Bestand im jetzigen Monat. Stellen Sie die Entwicklung graphisch dar und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im Sachkontext der Aufgabe.
2. Untersuchen Sie, wie sich die Entwicklung des Computervirus durch das Eingreifen der Internetprovider mittels der Alternative A verändert, indem Sie eine neue Matrix aufstellen und eine stabile Verteilung bestimmen.

3. Ermitteln Sie für die Alternative B eine neue „Überlebensrate“ der Viren im Zustand 1 (Z1), so dass eine stabile Verteilung existiert. Stellen Sie die Matrix auf und  bestimmen Sie die stabile Verteilung.
4. Ermitteln Sie für beide Alternativen einen stabilen Bestand ausgehend von den 5600 Anfangsmails. Berechnen Sie, wann der stabile Bestand jeweils erreicht wird.
5. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im Sachkontext.

Answer 1

Untersuchen Sie die ungehemmte langfristige Entwicklung des Computervirus mit den Mitteln der Matrizen- und Vektorrechnung für die Stadt A. Berechnen Sie auch den Bestand im jetzigen Monat. Stellen Sie die Entwicklung graphisch dar und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im Sachkontext der Aufgabe.

Wobei hast du dort konkret Probleme?

Die Populationsmatrix ist P = [0.9, 0, 25; 0.1, 0, 0; 0, 0.2, 0]

Der Anfangsvektor ist [5600; 0 ; 0]

In einer langfristigen Entwicklung erwartet man eine unbegrenzte Zunahme der Viren nach diesem Modell.

Jeder Virus gelangt irgedwann vom Zustand 1 in den Zustand 2. Von dort kommen zwar nur 1/5 der Viren in den Zustand Z3. Versenden dort aber wieder 25 neue Viren bevor sie selber zerstört werden. Somit wird im Schnitt irgendwann aus einer Email 5 neue Emails mit Viren.

Nun solltest du den Bestandsentwicklung der E-Mails in den ersten 10 Monaten skizzieren und dort wenn du es nicht exakt machen möchtest exponentiell in die Zukunft nähern.

Comments

vielen Dank MatheCouch bist der Beste.....

Kannst du mir bei 2 und 3 auch helfen :)

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Eine Fage, woher weißt du das der Anfangsvektor 5600;0,0 ist? Ich habe doch nur einen Wert, es könnte auch doch so sein 0;5600;0 ????

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Ja. Aber probier die doch bitte zunächst auch alleine.

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Eine Fage, woher weißt du das der Anfangsvektor 5600;0,0 ist? Ich habe doch nur einen Wert, es könnte auch doch so sein 0;5600;0 ????

"Zu Beginn des Jahres 2019 erhielten 5600 Einwohner einer Stadt A eine infizierte E-Mail."

Die 5600 Viren liegen also als Mail im Zustand Z1 vor.