Populationsentwicklungen Übergangsmatrix

Question

Die Entwicklung einer Population lässt sich mithilfe der Übergangsmatrix U (s. Anhang) mit 0<b_<1 beschreiben.

a)Bestimmen Sie b so, dass die Population sich zyklisch entwickelt. Begründen Sie dies anhand einer Potenz von U.

b) Bestimmen Sie b so, dass sich die Population nach jeweils drei Zeitschritten verdoppelt. zeichnen Sie für die Startpopulation E=90 Eier, L=45 Larven und K=10 den Graphen für die zeitliche Entwicklung von E. Die Punkte zum 3.,6.,9. Zeitschritt usw. von E liegen auf dem Graphen einer Funktion f. Geben sie die Gleichung von f an.

Wer kann mir helfen?

Answer 1

a)

[0, 0, 20; 0.25, 0, 0; 0, b, 0]^2 = [0, 0, 20; 0.25, 0, 0; 0, b, 0] * [0, 0, 20; 0.25, 0, 0; 0, b, 0] = [0, 20·b, 0; 0, 0, 5; 0.25·b, 0, 0]

[0, 0, 20; 0.25, 0, 0; 0, b, 0]^3 = [0, 0, 20; 0.25, 0, 0; 0, b, 0] * [0, 20·b, 0; 0, 0, 5; 0.25·b, 0, 0] = [5·b, 0, 0; 0, 5·b, 0; 0, 0, 5·b]

b muss also 1/5 = 0.2 sein, damit U^3 die Einheitsmatrix ist.

b)

b muss 2*0.2 = 0.4 sein, damit U^3 die zweifache Einheitsmatrix ist.

E(x) = [1, 0, 0]·[0, 0, 20; 0.25, 0, 0; 0, 0.4, 0]^x·[90; 45; 10]

[0, [90];
1, [200];
2, [360];
3, [180];
4, [400];
5, [720];
6, [360];
7, [800];
8, [1440];
9, [720];
10, [1600]]

f(x) = 90 * 2^{x/3}

[0, 90;
1, 113.3928944;
2, 142.8660946;
3, 180;
4, 226.7857889;
5, 285.7321893;
6, 360;
7, 453.5715779;
8, 571.4643787;
9, 720;
10, 907.1431559]

Comments

ich habe eine sehr ähnliche Aufgabe!

Leider, verstehe ich nicht wie sie auf f(x) = 90 * 2 ^x/3 gekommen sind?

90 als Anfangswert ist ja gegeben, aber wie sind sie auf den Wachstumsfaktor gekommen??

Könnte man nicht einfach bspw. (3/180) und (6/360) nehmen und daraus a berechnen? Wieso 2 ^ x/3 und was sollen die Zahlen darunter angeben?

Viele liebe Grüße

Sonnenschein1

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Bestimmen Sie b so, dass sich die Population nach jeweils drei Zeitschritten verdoppelt. 

Verdopplung heißt ein Wachstum mit dem Wachstumsfaktor 2. Also steht 2 in der Basis der Potenz. Nun hat man allerdings nicht eine verdopplung in jedem Zeitschritt sondern nur in 3 Zeitschritten. Damit muss ich den Exponenten durch die Verdopplungszeit teilen. Daher steht im Exponent x/3.