Vorgehen bei der Populationsentwicklung

Question

Hej, ich habe eine Aufgabe zur Populationsentwicklung und wollte mal fragen, ob mein Vorgehen richtig ist.

Und zwar habe ich die Populationsmatrix M =

0	0	0	200
0.5	0	0	0
0	0.1	0	0
0	0	0.1	0

Ich vermute mal der Satz: "Im Folgenden werden die Entwicklungsstufen Eier(E), Larven (L), Puppen (P) nur der weiblichen Käfer (K) betrachtet." auf einen Vektor p=(E, L, P, K)^T hinweist.

Anschließend heißt es in der Aufgabe, dass 2000  Stück weiblicher Marienkäfer gekauft werden. Dies würde bedeuten, dass der Vektor p₀=(0 ,0 ,0 ,2000) ist, oder?

Nun zur Rechnung:

Man soll die Population bis zum vierten Monat berechnen. Ich habe dies mit folgender Formel berechnet: p_n=Mⁿ*p₀ 

Nach vier Monaten komme ich jedoch wieder auf eine Population von 2000 weiblichen Marienkäfern. In einer weiteren Aufgabe heißt es jedoch, dass man eine Population bestimmen soll, bei welcher sich die Anzahl der Marienkäfer nicht ändert. :(

Answer 1

Nach vier Monaten komme ich jedoch wieder auf eine Population von 2000 weiblichen Marienkäfern. In einer weiteren Aufgabe heißt es jedoch, dass man eine Population bestimmen soll, bei welcher sich die Anzahl der Marienkäfer nicht ändert. :(

Der Unterschied ist jetzt sollst du eine Population finden die sich schon im nächsten Monat nicht mehr ändert. Aber dafür kannst du die Population aus den bisherigen ergebnissen zusammenbasteln

Der Vektor ist [400000; 200000; 20000; 2000]

oder auch gekürzt [200; 100; 10; 1]

Answer 2

Aloha :)

Ich kann deine Rechnung bestätigen, wenn du die Matrix 4-mal in Folge auf die Population \((0,0,0,2000)\) anwendest, bekommst du wieder die Population \((0,0,0,2000)\) heraus. Das passt.

Als Population, bei der sich die Anzahl der Marienkäfer nicht ändert, bieten sich Eigenvektoren der Matrix sein. Die Matrix hat 4 Eigenvektoren, von denen aber nur einer keine negativen Werte enthält, nämlich \((200,100,10,1)\). Wenn du die Matrix auf diese Population anwendest, bleibt sie stabil.

Alternativ dazu kannst du dir auch die Ergebnisse aus dem ersten Aufgabenteil mit der 4-maligen Anwendung der Matrix auf die Population \((0,0,0,2000)\) genauer ansehen und mit der stabilen Population vergleichen... Fällt dir was auf? ;)

Wenn du Hilfe beim Berechnen der Eigenvektoren benötigst, melde dich bitte nochmal.

Comments

Hej, super danke für die Infos, jedoch hätte ich eine Frage. Bei der Berechnung der Eigenwerte, bekomme ich eine Determinante von (A-lambda*E) = (lambda^4)-1. Ist das richtig? Weil danach müsste man ja mit komplexen Zahlen rechnen, welche ich noch nicht im Unterricht hatte.

---

Ja, du gerätst bei der Berechnung der EV und EW in den komplexen Raum. Es gibt aber einen reellen EV, der nur reelle positive Komponenten hat.

Wenn du komplexe Zahlen noch nicht hattest, schau dir die Ergebnisse der ersten 4 Anwendungen der Matrix an. Daraus kannst du auch auf die stabile Polulation schließen.