Den Flächeninhalt zwischen Kurve, x-Achse und Wendetangente berechnen.

Question

Mir fehlt im Skript die Lösung für das folgende Beispiel, könnte mir das jemand ausrechnen bitte?

Comments

Alles klar ? Hier noch ein Bildchen.
b.) auch ?

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Ne habe leider gar nicht verstanden was Roland gepostet hat :-/

Answer 1

Ansatz Funktionsgleichung aufgrund der Nullstellen: f(x) = a(x+2)²(x-1). Einsetzen des Wendepunktes zwecks Ermittlung von a: -2 = a(1²)·(-2) also a = 1. Funktionsgleichung f(x)= (x+2)²(x-1) = x³ + 3x² -4. Wendetangente: Steigung im Wendepunkt f'(-1). f'(x) = 32+6x. f'(-1) = 3 - 6 = -3. Ansatz Wendetangente y = -3x + b: Einsetzen des Wendepunktes zwecks Ermittlung von b:; - 3 = 2 + b oder b = - 5. Gleichung der Wendetangente: y = - 3x - 5. Flächenberechnung: Vom Betrag des Integrals in den Grenzen von -2 bis -1 muss die Fläche des Dreiecks mit der Grundseite 2/3 und der Höhe 2 also der Fläche 2/3 subtrahiert werden:       I ∫_-2^-1( x³ + 3x² -4)dx I = 3/4. 3/4 -2/3 = 1/12.

Answer 2

Zuerst : aus den Angaben den Funktionsterm ermitteln

f ( -2 ) = 0
f ' ( -2 ) = 0 | Extrempunkt Steigung = 0
f ( -1 ) = -2
f '' ( -1 ) = 0  | Wendepunkt Krümmung = 0
f ( 1 ) = 0

Kommst du mit der Kurzschreibweise klar ?
Könntest du den Funktionsterm aufstellen ?

Alternativ ( siehe Roland )
Da 2 der Stellen Nullstellen sind und eine davon eine doppelte
Nullstelle ist kann der Fachmann schließen

( x + 2 )^2 * ( x -1 ) * a

Comments

Das kommt mir bekannt vor aus der Steckbriefaufgabe, aber welchen Grades soll der Funktionssterm sein?

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1. Grades : Gerade ( nicht )  2 Punkte vonnöten
2. Grades : Parabel  ( nicht ) 3 Aussagen  müssen gegeben sein
3. Grades 4 Aussagen müssen gegeben sein.

Verwirrenderweise sind 5 Aussagen gegeben.
Es wird sich herausstellen das eine Aussage zuviel ist.

Probieren wir einmal
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ´( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2 * b

Einsetzen
f ( -2 ) = a * (-2)^3 + b * (-2) + c * (-2 ) + d = 0
-8a + 4 * b + -2 * c + d = 0

Dies mit allen Aussagen machen.

Geht gleich weiter

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-8a + 4b - 2c + d = 0
12a - 4b + c = 0
-a + b - c + d = -2
-6a + 2b = 0

Dies lineare Gleichungssystem muß berechnet werden ;

Geht gleich weiter.

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a = 1
b = 3
c = 0
d = -4

f(x) = x^3 + 3·x^2 - 4

Ein Test mit der noch nicht verwendeten Aussage
f ( 1 ) = 0 = 1 + 3 - 4  stimmt auch.

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ich gehe jetzt Fußball schauen

Ermittlung der Wendetangente

Berührpunkte allgemein
f ( x ) = t ( x )  | Koordinaten sind gleich
f ´( x ) = t ´( x ) | Steigung ist gleich

W ( -1 | -2 )

Steigung am Berührpunkt feststellen
f(x) = x³ + 3·x² - 4
f ´( x ) = 3 * x^2 + 6 * x
f ´ ( -1 ) = 3 * (-1)^2 + 6 * (-1)
f ´( -1 ) = -3

y = m * x + b
m = -3
-2 = -3 * (-1) + b
b = -5

y = -3 * x + 5
t ( x ) = -3 * x + 5

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Könntest du mir auch hier helfen bitte? Bis Nummer 15 bin ich problemlos gekommen, nur wenn ich mit dem Taschenrechner die Nullstellen ausrechnen möchte, kommen da zwei raus x₁=1 und x₂=3 aber wenn ich es ohne ausrechnen möchte kommen da 3 raus :-/

Ich verstehe auch irgendwie die Fragenstellung nicht, also nicht sinnerfassend zumindest aber ich weiß wie ich vorzugehen habe. Zum Beispiel die Aufgabenstellund ganz oben welches kursiv geschrieben wurde oder: Berechnen Sie in den folgenden Aufgaben den Inhalt des Flächenstückes, das von der Funktionskurve, der x-Achse und den zu den angegebenen x-Werten gehörenden Ordinaten begrenzt wird.

 

Mein jämmerlicher Versuch :D

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Bei den Aufgaben müssen zunächst die Nulstellen der Funktionen
ermittelt werden.

x^3 - 13 * x + 12 = 0

- Raten
- probieren
- Plottereinsatz

Geraten : x =  1

erste Nullstelle

( x - 1 ) = 0

Polynomdivision durchführen

x^3 - 13 * x + 12 :  x -1 = x^2 + x - 12

x^2 + x - 12= 0  | pq-Formel oder quadratische Ergänzung ergibt
x = -4
x = 3

x^3 - 13 * x + 12 = ( x -1 ) * ( x + 4 ) * ( x -3 )

Die Stelle sind die Integrationsgrenzen zur Flächenberechnung

∫ f ( x ) dx  zwischen  -4 und 1
∫ f ( x ) dx  zwischen  1 und 3

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Aber wieso kommt bei mir was falsches raus? Darf man Horner-Schema hier nicht anwenden? Selbst mein Taschenrechner spuckt andere Nullstellen aus :-/

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Hallo Legacy,

Mit dem Horner-Schema arbeite ich nicht und kann dir zu deiner
Rechnung auch nichts sagen.

Bei deinen Ergebnissen für x ergibt sich
( 1 | 0 )
( 0 | 3 )
( 12 | 396 )

Die beiden letzten Werte sind also keine Nullstellen.

Wir / du müßten erstmal feststellen was du überhaupt kannst.

- Nullstellen von Funktionen ermitteln
- Rekonstruktion / Entwicklung von Funktionstermen aus gegebenen
Aussagen
- Aufstellung eines Gleichungssystems aus den Angaben /
Lösung desselben
- Integrieren ?
- Flächenermittelung zwischen 2 Funktionen usw

Wir sollten nicht von Aufgabe zu Aufgabe springen sondern erst einmal,
falls noch nicht geklärt, die erste Aufgabe zu Ende lösen.

Ansonsten kannst du natürlich auch eine Aufgabe einstellen und deinen
ersten Berechnungsschritt angeben und vorführen.

mfg Georg

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Selbst wenn ich es mit

∫ f ( x ) dx  zwischen  -4 und 1
∫ f ( x ) dx  zwischen  1 und 3  .... rechne kommt bei mir was falsches raus, aber hauptsache mein Taschenrechner kommt auf das richtige Ergebnis obwohl ich nur die Grenzen -4 und 1 eingegeben habe :-/ könntest du mir helfen den Fehler zu finden bitte?

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Der Fehler bei der ersten Fläche muß beim Einsetzen von x = -4 liegen.
Mein Matheprogramm sagt -22
1.4375 - ( -22 ) = 23.4375

Die 2.Fläche stimmt | -2 |  = 2

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Kann gut sein, ich weiß nur nicht ob ich die Zahlt die ich einsetzte in Klammer setzten darf ? Dann fallen ja manchmal die Vorzeichen weg wenn gerade Hochzahlen vorhanden sind.

Und was mache ich mit der 2 Fläche ? Zu der 1 dazu addieren ? Dann kommt aber 25.4375 raus und dann wäre die Lösung nicht richtig (vielleicht kann die Lösung im Skript auch falsch sein)

Ich kriege bald Kopfschmerzen^^

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Mach mal eine Pause und schalte ab

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Also ich kann doch die Zahl die ich einsetzte seperat von der Hochzahl in eine Klammer setzten o.O ? Jetzt wird alles klar, ich dachte ich darf das nicht weil eben sich die Vorzeichen aufheben würden in bestimmten Fällen.

Danke bis das erste Match anfängt mache ich noch weiter, hab Freitag eine Prüfung.

Aber mir ist immer noch nicht klar was wir mit der zweite Fläche anstellen? Weil die Lösung kommt schon bei der Fläche 1 raus....

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Da Flächen immer positiv sind werden alle
Ergebnisse in Betragszeichen gesetzt, also als  positiv
angesehen und addiert.

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Ja eben deshalb bin ich verwirrt : Fläche 1 = 23.4375 und Fläche 2 = -2 man muss sie ja jetzt addieren A = lA1l + lA2l = 25.4375. Es passt aber nicht zu Lösung die oben danebensteht

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Das ist ein Fehler

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Durch die Fehler in den  Lösungen habe ich bestimmt schon 10 Stundenvergeudet weil ich alles zig-fach nachgerehnet habe, weil es nicht gepasst hat laut Lösung.

Tut mir leid wenn ich dich nerve, nur könntest du mir auch da helfen.

Die Tangentengleichung konnte ich aufstellen y=2x-1 aber wie rechne ich bei diesen Beispielen weiter und ich schafe es nicht zbsp bei geogebra die Tangente einzuzeichnen :-/

Vielen Dank für deine Mühe!

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Ich will jetzt erst einmal fernsehschauen

Bitte stelle deinen letzten Kommentar als neue Frage ein,
damit erhöhst du den Kreis potentieller Antwortgeber
beträchtlich.

Ich kümmere mich auch darum.

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Ich komme da irgendwie nicht weiter, ich habe keine Ahnung wie ich auf meine Grenzen komme bei Beispiel 1, ansonsten könnte ich es ausrechnen :-/

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f ( x ) = x^2

Tangente
f ( x ) = t ( x )
f ´( x ) = t ´( x )
im Punkt ( 1 | 1 )

f ´ ( x ) = ( x^2 ) ´ = 2 * x
f ´( 1 ) = 2 * 1 = 1

y = m * x + b
m ist f ´( 1 ) = 2
y = 2 * x + b
( 1 | 1 )
1 = 2 * 1 + b
b = -1

t ( x ) = 2 * x -1

~plot~ x^2 ; 2 * x -1 ;  [[ 0 | 1 | -0.5 | 1.5 ]] ~plot~

Die gesuchte Fläche ist
- die Fläche unterhalb der blauen Kurve f minus
der Dreiecksfläche unterhalb der roten Geraden t.

Stammfunktionf : x^3 / 3
zwischen 0 und 1 : 1 /3
Dreiecksfläche : Grundseite mal Höhe / 2
0.5 * 1 / 2 = 1 / 4
1 / 3 - 1 /4 = 1 / 12

Hattest du die Aufgabe nicht schon einmal seperat eingestellt ?