Inhalte der Fläche zwischen Kurve und x-Achse? Fehler im Buch?

Question

Aufgabe:

Berechnen die Inhalte Fläche ,die vom Graphen der Funktion f mit

f(x)= x^3-9x^2+18x

Und der x-Achse eingeschlossen werden.

Meine Antwort:

x(x^2-9x+18)=0

x=0 x=3 x=6

Integrieren: x^4/4 -3x^3 +9x^2

Im Intervall berechnen:

[0/3] 81/4

[3/6] 81/4

Meine Antwort: 162/4

Aber die Lösung im Buch ist 81/4

Kann mir jemand helfen, den Fehler zu finden?

Answer 1

Nullstellen f(x) = 0

x^3 - 9·x^2 + 18·x = 0 --> x = 0 ∨ x = 3 ∨ x = 6

Flächen

A1 = ∫ (0 bis 3) (x^3 - 9·x^2 + 18·x) dx = 20.25

A2 = ∫ (3 bis 6) (x^3 - 9·x^2 + 18·x) dx = -20.25

Beide Flächen haben einen Inhalt von jeweils 20.25 FE. Das negative Vorzeichen bei A2 bedeutet, dass diese Fläche unterhalb der x-Achse gebildet wird.

Skizze

~plot~ x^3-9x^2+18x;[[-2|8|-12|12]] ~plot~

Comments

Man sollte die Fragestellung genau durchlesen:

Berechne die Inhalte der Flächen, die vom Graphen der Funktion f und der x-Achse eingeschlossen werden.

oder

Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f und der x-Achse eingeschlossen wird.

Bei der ersten Fragestellung sind die beiden einzelnen Flächen anzugeben. Bei der zweiten Fragestellung sind die beiden Flächen zu addieren.

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Kleine Frage,

Bei der zweiten Fragestellung muss man nur addieren ?

Oder es hängt von der Skizze ab ?

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Die Skizze habe ich nur gemacht damit du es dir besser vorstellen kannst.

Bei der zweiten Fragestellung brauchst du nur addieren.

Answer 2

Die Funktion verläuft punktsymmetrisch zu (3|0).

Deshalb ist die Fläche von 0 bis 3 gleich 81/4 und die von 3 bis 6 gleich -81/4.

A₁ = 81/4
A₂ = -81/4

Wenn nun der gesamte bestimmte Flächeninhalt gemeint ist, beträgt die Fläche A = A₁ + |A₂| = 2 * 81/4 = 81/2 = 162/4, was deiner Antwort entspricht.

Answer 3

Steht da vielleicht Folgendes:

Berechnen Sie die Inhalte der (endlichen) Flächenstücke, die vom Graphen der Funktion f mit

f(x)= x^3-9x^2+18x und der x-Achse eingeschlossen werden.

Wenn ja, musst du die Flächenstücke einzeln angeben. Beide haben den Inhalt 81/4, wenn du richtig gerechnet hast.

Berechnen Sie den Inhalt der (endlichen) Gesamtfläche, der vom Graphen der Funktion f mit

f(x)= x^3-9x^2+18x und der x-Achse eingeschlossen werden.

Das Zweite wäre eine eher ungewöhnliche Fragestellung. Hier könnte man dann die beiden Flächenstücke am Schluss noch zusammenzählen.