Man untersuche die Konvergenz der Reihe ∑ (k^2 8^k)/(k!) * ∑(k7^k)/(3^{3k})

Question

Hallo Forum,

ich suche Hilfe bei der folgenden aufgaben, habe probleme bei den Thema.

Man untersuche die Konvergenz folgender Reihe:

$$ \sum_{k=0}^{\infty}{ \frac { k^2 8^k }{ k! } } \cdot \sum_{k=0}^{\infty}{ \frac { k 7^k }{ 3^{3k} } }  $$

 .

Comments

Bei der ersten Reihe solltest du es mit dem Quotientenkriterium, bei der zweiten mit dem Wurzelkriterium versuchen.

Answer 1

a_k+1 / a_k =    (k+1)^2 * 8^k+1 * k! /  ( (k+1)! *k^2 * 8^k  )   kürzen

=     (k+1)^2 * 8  /  ( (k+1) *k^2  ) 

= (8k^2 + 16k + 8)  /  ( k^3 + k^2 )

=   8 / ( k+1)   +    16 / ( k^2 + k )   +   8 /   ( k^3 + k^2 )

für k>50 sind die Nenner auch alle größer als 50  , also

die ganze Summe kleiner als

8/50 + 16/50 + 8/50  = 32/50   < 1 .

Also nach Quot.krit. konvergent.

Probier mal den 2. und lass ihn hier checken.

Comments

ok danke bei der 2.

k√k3^7 /k^3k = (k3^7/k)/9 ??

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Ich habe mit dem Wurzelkrit folgendes raus: ^k√|((k*7/3³)^k)| = k*7/3³

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oder evt k^7/k/(1)

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wie kommst du auf die k3^_7?

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oh habe eine falsche uahl aufgeschrieben

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komme jetzt auch auf 7k /3^3

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Ich denke mal eher

7 * k-te wurzel(k)  /   27.

Für hinreichend großes k ist

k-te wurzel(k)   kleiner 2, also

liefert das Wurz.krit.

k-te wurzel ( ak) <  14 / 27   < 1   Also  Reihe konvergent.

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mal eine frage warum setzt du bei der 1. 50 ein?

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Damit ich nicht so viel rechnen muss.

Du brauchst ja nur eine Stelle, von der an der

Quotient sicherlich ≤ q  < 1 ist.

Für k>50 schien es mir einfach einzusehen. Es ist sicherlich

auch für kleinere k schon der Fall.