Problem mit Wahrscheinlichkeitsverteilung

Question

D a s A l b e r t - E i n s t e i n - G y m n a s i u m  bestellt für alle 81 Schüler und die 3 Mathematiklehrer der 7.Klassen neue Taschenrechner. Durch eine Störung in der Produktion sind ein Drittel der Taschenrechner ohne Batterien geliefert worden. Die Zufallsgröße X gitb an, wie viele Taschenrechenr ohne Batterien an Lehrer gegeben wurden.

a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X an.

b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsgröße X.

Ich komme mit a) leider nicht klar, sonst könnte ich glaube ich selbst b) lösen...

Answer 1

Korrektur nach dem Einwand von Mister. 

Ja hier sollte mit der hypergeometrischen Verteilung gerechnet werden. 1/3 der Taschenrechner sind ohne Batterien geliefert worden. D.h. von 84 Taschenrechnern hatten 28 keine Batterien und 56 hatten Batterien.

P(X = x) = comb(28, x) * comb(56, 3 - x) / comb(84, 3)

[0, 990/3403;
1, 1540/3403;
2, 756/3403;
3, 117/3403]

Die binomialverteilung ist hier verkehrt. Ich hatte das zunächst falsch gelesen.

P(X = x) = (3 über x)·(1/3)^x·(2/3)^{3 - x}

[0, 8/27;
1, 4/9;
2, 2/9;
3, 1/27]

Comments

b)

E(X)=1

V(X)=2/3

σ(X)=Wurzel(6) / 3

Kannst Du das bestätigen?

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Ja. Das sieht alles richtig aus.

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Vielen Dank           

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Ist die Zufallsgröße \( X \) wirklich binomialverteilt? Ist sie nicht hypergeometrisch verteilt?

In diesem Beispiel stimmen die Erwartungswerte der beiden Verteilungen überein, die Varianzen aber sind unterschiedlich.

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Die Zufallsgröße \( X \) wäre binomialverteilt, wenn jeder Lehrer nach dem Ziehen seines Rechners diesen wieder zurücklegen würde.

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Ja du hast recht. Wir wissen ja genau das 1/3 der Taschenrechner keine Batterien hat. Binomialverteilung könnte ich nur nehmen wenn jeder 3. Taschenrechner keine Battieren hat und ich wahllos irgendwelche Taschenrechner der Produktion bekomme und dann jeder mit einer Wahrscheinlichkeit unabhängig von den anderen zu 1/3 ohne Battierien ist. Ich habe das oben verbessert.

Die Formel der Varianz kann man bei Wikipedia nachlesen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verteilung

Answer 2

die Zufallsgröße \( X \) scheint mir hypergeometrisch verteilt. Die Parameter lauten \( N = 84 \), \( M = 28 \) und \( n = 3 \), siehe auch  https://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verteilung .

Der Erwartungswert ist (siehe Wikipedia-Artikel)

\( \mathbb{E}[X] = n \frac{M}{N} = 3 \frac{28}{84} = 1 \).

Die Standardabweichung als Wurzel der Varianz beträgt (siehe Wikipedia-Artikel)

\( \sqrt{\mathbb{V}[X]} = n \frac{M}{N} \left( 1 - \frac{M}{N} \right) \frac{N - n}{N - 1} = 3 \frac{28}{84} \left( 1 - \frac{28}{84} \right) \frac{81}{83} = \frac{2}{3} \frac{81}{83} = \frac{54}{83} \approx 65.1\ \% \).



Mister