Reelles Fundamentalsystem angeben für Differenzialgleichungssystem y'=Ay, (Matrizen)

Question

Ich bräuchte Hilfe..

Zu Aufgabe a) habe ich was gefunden..

Bei Aufgabe b)&c) bräuchte ich Hilfe 

Comments

a) zur Kontrolle: https://www.mathelounge.de/358495/fundamentalsystem-differentialgleichungssystem-matrix 

Answer 1

b) det(A-λ*E₂)=(λ-2)^2=0

--> λ=2 doppelte Nullstelle 

Bei einer k-fachen Nullstelle ist die Lösung eine Superposition des Exponentialansatzes multipliziert x^n

wobei n=0,1,...,k-1 ist

Hier: doppelte Nullstelle k=2

--> Fundamentalsystem {e^{2x},x*e^{2x}}

c) als charackteristisches Polynom ergibt sich 

λ^2=-2

Lösungen: λ₁=i*√2

                 λ₂=-i*√2

Bei einfachen,komplexen Nullstellen der Gestalt λ=a+bi ergibt sich als Lösung des Fundamentalsystems e^{ax}*sin(bx)

und bei der Gestalt λ=a-bi e^{ax}*cos(bx)

Für λ_1:sin((√2)x)

für  λ₂ :cos((√2)x)

Fundamentalsystem:{sin((√2)x),cos((√2)x)}

Die Ansätze für die Lösungen des Fundamentalsystems kannst du auf dieser sehr informativen  Seite nachlesen:

http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest9/Lsg_linDGL_konstKoeff.html 

Answer 2

zu b)

det(A -λE) =0

(- λ) (4- λ) +4 =0

λ^2 -4λ +4=0

λ_1=2

λ_2=2

-------->Fundamentalsystem:

FS( e^{2x} ,x e^{2x})

Comments

was für einen  Ansatz verwendest du um das Fundamentalsystem zu bekommen ?

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siehe hier:

http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest9/Lsg_linDGL_konstKoeff.html

Zeile b)