Konvergenz von Integral (uneigentlich)

Question

kann mir vielleicht jemand erklären wie ich die Konvergenz bzw. Divergenz von diesem Integral herausbekomme:

$$ \int_{0}^{1}\frac{x^2-x-1}{x^3-4x^2+5x-2} dx $$

Gruß und Danke

Julius

Comments

Heisst das, du musst das Integral nicht ausrechnen?

In welchen Intervallen ist der Integrand stetig?

---

Genau, nicht ausrechnen, nur schauen ob das Integral konvergiert!

So wie ich das sehe ist die Funktion im ganze Intervall stetig nur bei x=1 eben eine Defnitionslücke.

---

Bei x=1 hat der Integrand (-1-x+x^2)/((-2+x) (-1+x)^2) eine doppelte Nullstelle.

Da aber grob Zählergrad - Nennergrad = -1, würde ich vermuten, dass das Integral nicht konvergiert.

Kontrolle damit: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate+(-1-x%2Bx%5E2)%2F((-2%2Bx)+(-1%2Bx)%5E2)+from+0+to+1

bestätigt die Vermutung.

Für genauere Rechnung (falls nötig) : Substituiere vielleicht (x-1) = u .

Answer 1

Wenn das berechnet wird, sieht das so aus:

(x^2-x-1)/(x^3-4 x^2+5x-2) = (x^2-x-1)/((x-2)(x-1)^2

Ansatz:

(x^2-x-1)/((x-2)(x-1)^2 =A/(x-2) +B/(x-1)^2 +C/(x-1)

Lösung durch Einsetzverfahren oder Koeffizientenvergleich(je nachdem, was behandelt wurde)

Lösung:

=ln|x-2| -1/(x-1)+C

Nun sieht man ja , wenn man 1 einsetzt bekommt man:

ln(1) - 1/0 und damit divergiert das Integral