Ableitung von K(q)=K(0)*(1+i)^q

Question

Wie lautet die erste Ableitung von K(q)=K(0)*(1+i)^q

Unser Dozent hat da mit dem natürlichen Logarithmus gearbeitet... Die Lösung ist K´(q)=K(0)*(ln(1+i))*e^ln(1+i)*q bzw. vereinfacht K´(q)=K(0)*ln(1+i)*(1+i)^q

 

Ich weiß aber ehrlich gesagt überhaupt nicht, wie man auf diese Lösung kommt... :/

Comments

Der Dozent hat die Exponentialfunktion auf die Basis e umgeschrieben, um einfacher ableiten zu können. Man kann sich auf diese Weise auch eine Regel zum Ableiten von Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis herleiten und diese dann als feste Formel verwenden. Das wollte er wohl nicht.

Aus welchem Zusammenhang stammt die Funktion überhaupt? Sie erinnert an eine Zinseszinsformel, ist aber keine...

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Doch. Das ist die Zinseszinsformel.

K(q) in das Kapital nach q Jahren. Ich habe die nur als Kn gelernt. Vielleicht kannst du auch

Kn = K0 * (1 + p)^n

Das ist genau das gleiche nur mit anderen Bezeichnungen.

Answer 1

Ich mache das mal allgemein für die ableitung
f(x) = a * b^x

Da ich nur Potenzen zur Basis e ableiten kann schreibe ich
b^x = e^{ln b^x} = e^{x * ln b}

f(x) = a * e^{x * ln b}

Das kann ich jetzt mit Kettenregal ableiten

f'(x) = a * e^{x * ln b} * ln(b)

Jetzt wandel ich wieder um
e^{x * ln b} = e^{ln b^x} = b^x

f'(x) = a * b^x * ln(b)

Wie man sieht kommt bei beliebigen Potenzen b in die Ableitung nur der ln(b) dazu.

Also:

K(q) = K(0) * (1 + i)^q

K'(q) = K(0) * (1 + i)^q * ln(1 + i)