Wie lautet die Herleitung der Ableitung von log(x) und Ln(x)?

Question

Hallo

Wie lautet die Herleitung der Ableitung von log(x) und Ln(x)?

Danke

Answer 1

Am besten über den Satz von der Ableitung der Umkehrfunktion:

https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

Da kommt das unter den Beispielen vor.

Kannst aber auch so versuchen, wenn man weiss, dass

die Umkehrfunktion immer differenzierbar ist

ln( e^x )   =   x     Beide Seiten ableiten gibt 

mit Kettenregel

ln ' ( e^x ) * e^x = 1

ln ' ( e^x = =  1 / e^x 

also für alle positiven t aus IR

ln ' (t) = 1 / t

Answer 2

die Ableitung von ln(x) kannst du mit dem Differentialquotienten herleiten:

betrachte

[ln(x+h)-ln(x)]/h=ln(1+h/x)*1/h=ln(1+h/x)^{1/h})

setze h/x=1/z --> h=x/z

ln(1+h/x)^{1/h}=ln(1+1/z)^{z/x})=1/x*ln((1+1/z)^z)

da man für den Differentialquotienten h--> 0 betrachet, läuft z--> ∞

lim z--> ∞(1+1/z)^z=e ist eine bekannte Darstellung von e

-->lim z--> ∞ 1/x*ln((1+1/z)^z)=1/x*ln(e)=1/x

Für die Ableitung von log₁₀(x) kann man einen Basiswechsel vollziehen:

 log₁₀(x) =ln(x)/ln(10)

-->  log₁₀(x)'=1/(x*ln(10))

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Dankeschön super erklärt!