Herleitung f'' Kriterium aus dem VZW-Kriterium der ersten Ableitung

Question

Liebe Lounge,

liege ich richtig in der Annahme, dass das f'' Kriterium aus dem VZW-Kriterium der ersten Ableitung hergeleitet wird?

Kann man es so begründen? :

Wenn f''(x_E) negativ ist, dann weiß man, dass f' an der Stelle x_E einen VZW- Wechsel von + nach - haben muss. Demnach ist x_E eine lokale Maximumsstelle.

Wenn f''(x_E) positiv ist, dann weiß man, dass f' an der Stelle x_E einen VZW- Wechsel von - nach + haben muss. Demnach ist x_E eine lokale Minimumsstelle.

Ergänzen muss man dann eben noch, dass f' nicht nur VZW bei x_E haben kann, wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sind, sondern theoretisch auch, wenn f''(x_E)=0. Das ist z.B. möglich bei einem Sattelpunkt der ersten Ableitung bei x_E. f könnte also z.B. den Term f(x)=x^4 haben.

Passt das so?

Danke :)

Answer 1

Wenn f''(x_E) negativ ist,

UND f ' (x_E) = 0 ist

 dann weiß man, dass f' an der Stelle x_E einen VZW- Wechsel von + nach - haben muss. Demnach ist x_E eine lokale Maximumsstelle.

Sonst passt es ganz gut !

Comments

Sonst passt es "ganz" gut? Was würdest du verändern?

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Vielleicht noch was deutlicher:

Wenn f''(x_E) negativ ist,  dann ist f ' bei x_E

fallend, UND wenn dann noch f ' (x_E) = 0 ist,

hat es dort also einen VZW von + nach -.

Answer 2

Ich hätte es etwas anders notiert.

Wenn f'(a) eine Nullstelle ist und die Ableitung f''(a) > 0 ist bedeutet es das der Graph steigt und somit an der Stelle a ein VZW von - nach + vorliegen muss.

Comments

Okay.  Das hat ja mathef auch gesagt.

Was ich mich gerade noch frage ist folgendes:

Kann man davon ausgehen, dass auch wenn f''(x) nur minimal kleiner ist als Null und f'(x)=0 bei f'(x) ein VZW vorliegt?

Also z.B. f''(x)=10^(-10)

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Ja. Das ist korrekt und immer so.

10^(-10) wäre allerdings minimal großer als Null.