Warum untersuche ich potentielle Extremstellen nicht ohne VZW und zweite Ableitung?

Question

Aufgabe:

Ich möchte Extremstellen einer (stetigen) Funktion finden. Dazu bestimme ich zunächst die Nullstellen der ersten Ableitung, das sind die potentiellen inneren Extremstellen. 

Problem/Ansatz:

Üblich wäre nun die weitere Untersuchung auf Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung, oder ob die zweite Ableitung an der potentiellen Extremstelle ungleich null ist.

ABER: Kann ich nicht einfach die potentiellen Extremstellen und x-Werte aus deren Nähe in die URSPRÜNGLICHE Funktion einsetzen und damit feststellen, ob es sich um Hoch- oder Tiefstellen handelt? Das entspräche doch der eigentlichen Definition der Extremstellen!

Niveau:

Answer 1

ABER: Kann ich nicht einfach die potentiellen Extremstellen und x-Werte aus deren Nähe in die URSPRÜNGLICHE Funktion einsetzen

Das ist ein riskantes Lotteriespiel.

Du hast z.B. einen potenziellen  Tiefpunkt (5;3) und stellst fest, dass "in der Nähe" die Punkte

(4,9999 ; 3,00001) und (5,0001; 3,00002) liegen.

NA UND ????

Kannst du sicherstellen, dass es nicht auch noch Punkte
wie (4,99999999734 ; 2,99999999996) und (5,000000001; 2,999999992) gibt, die NOCH NÄHER dranliegen, aber UNTER dem vermeintlichen Tiefpunkt sind?

Comments

"NA UND ????

Kannst du sicherstellen, dass es nicht auch noch Punkte
wie (4,99999999734 ; 2,99999999996) und (5,000000001; 2,999999992) gibt, die NOCH NÄHER dranliegen, aber UNTER dem vermeintlichen Tiefpunkt sind?"

Ich habe ja absichtlich "in der Nähe" geschrieben und damit gemeint, dass in der betreffenden Umgebung keine weiteren potentiellen Extremstellen, Definitionslücken, Sprungstellen etc. liegen.

Ich denke aber, dass es dann diese tiefer als der vermeintliche Tiefpunkt liegenden Punkte nur geben kann, falls weitere potentielle Extremstellen damit übersprungen werden. Es müssten dann noch weitere innere Extrempunkte in der Umgebung liegen, mithin weitere Nullstellen der 1. Ableitung.

Das Argument lässt sich auf das Vorzeichenwechselkriterium übertragen: Da werden oft Zahlen eingesetzt, damit nicht mit den Bestandteilen des Funktionsterms argumentiert werden muss. Und beim Einsetzen muss man darauf achten, "dicht genug dran zu bleiben", also nicht über weitere Nullstellen der ersten Ableitung usw. hinwegzugehen.

Funktionen mit Definitionslücken und nicht-stetige Funktionen möchte ich mal ausschließen.

Gibt es vielleicht eine pathologische stetige Funktion, die zeigt, dass man nicht so einfach vorgehen kann? Ich denke da z. B. an die berühmten oszillierenden Sinusfunktionen.