Lokale Extremstellen (VZW) von f(x):= x^5-5x^3+1.

Question

Hallo 

wie kann ich die lokalen Extremstellen von f(x):= x⁵-5x³+1?

Answer 1

f(x) = x^5 - 5·x^3 + 1 

f'(x) = 5·x^4 - 15·x^2

Extrempunkte f'(x) = 0

5·x^4 - 15·x^2 = 0
5·z^2 - 15·z = 0
z = 3 ∨ z = 0

x = 0 oder x = ± √3

f(0) = 1 --> Sattelpunkt
f(√3) = 1 - 6·√3 = -9.392304845 --> Tiefpunkt
f(-√3) = 6·√3 + 1 = 11.39230484 --> Hochpunkt

Comments

Warum punktsymmetrisch?

Meines Wissens gilt x^0 als gerader Exponent von x und somit wäre keine Aussage möglich?!

Müsste man darüber hinaus nicht auch erst noch überprüfen ob es TATSÄCHLICH Extrempunkte sind?

f''(x)|= 0?

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Mit der Punktsymmetrie hast du recht. Eigentlich wollte ich auch sagen das der Graph Punktsymmetrisch zum Punkt (0, 1) ist. Das ist ja interessant für die Lage der Extrempunkte.

Ich weiß, dass y = x⁵ - 5·x³ punktsymmetrisch zum Ursprung ist und dieser Graph ist nur noch zusätzlich um eine Einheit nach oben verschoben worden.

Bei den Extrempunkten braucht man das bei Polynomen eigentlich nicht machen.

Weil ich eine Doppelte Nullstelle bei 0 habe ist das automatisch ein Sattelpunkt. Der Graph der Ableitung berührt nur die x-Achse hat also kein Vorzeichenwechsel. Das andere sind in der Tat Hoch und Tiefpunkt. 

Wenn ich zwei y-Koordinaten habe. Die eine bei -9 und die andere bei 11 welches würde man dann als Tiefpunkt annehmen und welches als Hochpunkt?

Leider gehen die meisten Lehrer leider auf solche Dinge überhaupt nicht ein und kramen gleich die zweite Ableitung heraus obwohl die eigentlich überflüssig ist wenn man sein Kopf etwas anstrengt.