Es geht um lokale Extremstellen von f(x)= x^4-2x^2

Question

Ich soll die lokalen extremstellen bestimmen:

f(x)= x⁴-2x²

so jetzt habe ich die erste Ableitung gebildet :

f'(x)= 4x³-4x

f'(x)=0        4x³-4x=0  | :4

x^3-x=0  | :x

x^2-1=0  | +1

x^2=1 | √

x= 0   v   x₂= ±√1

so das sind doch jetzt die Nullstellen oder nicht.

wie rechne ich denn jetzt die extremstellen aus?

Answer 1

 4x³-4x=0  | :4

                     x³-x=0  | :x        , x1=0

                    x²-1=0  | +1

                         x²=1 | √

                          x= 0   v   x_2,3= ±√1 = ±1

so das sind doch jetzt die Nullstellen oder nicht. 

Das sind die Nullstellen der Ableitung und somit (ziemlich sicher ) die Extremstellen von f(x).

"ziemlich sicher" bedeutet eigentlich "sicher", weil es einfache Nullstellen der Ableitung eines Polynoms vierten Grades sind.

Ich rechne mal noch die Extremwerte aus

f(x)= x⁴-2x² 

f(0) = 0

f(1) = f(-1) = 1 -2 = -1

Lokales Maximum: Hochpunkt H(0|0)

Lokale Minima: Tiefpunkte T1(-1|-1) und T2(1|-1)

Kontrolle graphisch:

x^4-2x^2;{0|0};{-1|-1};{1|-1};4x^3-4x;x=-1;x=1

~plot~ x^4-2x^2;{0|0};{-1|-1};{1|-1};4x^3-4x;x=-1;x=1 ~plot~

Answer 2

Du darfst nicht durch x teilen, sondern musst x ausklammern, sonst verlierst du eine Nullstelle.

x*(x^2-1) = 0

...

Comments

wenn ich durch x teile dann bekomme ich doch die selben Nullstellen raus, nämlich 0, 1 und -1

das gleiche,wenn ich da stehen habe x*(x^2-1)

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Die Nullstelle x =0 geht verloren, weil nach der Division nur noch übrigbleibt: x^2-1 .
Wie kommst du damit auf die Nullstelle x = 0 ??

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x²=1 | √
x= 0   v   x₂= ±√1

Wie kommst du auf die Lösung x = 0 ?
Woraus ergibt sich das ?

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Ich habe in meiner Antwort blau eingefügt, wo man x1=0 bekommt. Klarer wäre eine Ausklammerung von x.