Implizite Funktion mit Extremstellen. Nachfragefunktionen: q1 = D1(p1,p2)=81-5 p1 +3 p2; q2 =…. p1,p2:Preise.

Question

Ein Monopolunternehmen bietet zwei Güter zu den Preisen p1 und p2 an. Die Nachfrage wird durch die Nachfragefunktionen
q1 = D1 ( p1 , p2 )=81 - 5 p1 + 3 p2

q2 = D2 ( p1 , p2 )=109 + 2 p1 - 3 p2

bestimmt. Die Herstellungskosten für die beiden Güter betragen 2 und 4 GE pro Stück.
Wie muss der Preis p1 festgesetzt werden, sodass maximaler Gewinn erzielt wird?

Nachtrag von Anonym:
D ist die Nachfrage. Man muss einfach die Gewinnfunktion q1*p1+q2*p2-2*q1-4*q2....daraus die 1 ableitung nach p1 und p2......und das gleichungssystem lösen nach p1 und p2.....jedoch bekomme ich dort nie die richtige Antwort raus!!

Comments

Wofür steht hier D? für Ableitung?
GE steht in der Regel für Grundeinheit.

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man muss einfach (d ist die nachfrage....)q1*p1+q2*p2-2*q1-4*q2....daraus die 1 ableitung nach p1 und p2......und das gleichungssystem lösen nach p1 und p2.....jedoch bekomme ich dort nie die richtige Antwort raus!!

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Ich glaube, ich hab verstanden, was zu tun ist. Die Gewinnfunktion nach beiden Variabeln ableiten. Die Ableitungen Null setzen und so die Extremalstelle ausrechnen. Da die Sache 2-dim ist, musst du wohl noch etwas Geduld haben.

Answer 1

Also die Gewinnfunktion hast du ja quasi schon notiert, die lautet:

D = p₁q₁ + p₂q₂ - 2q₁ - 4q₂

Setzt man da die beiden gegebenen Gleichungen ein, erhält man:

D(p₁, q₁) = p₁(81 - 5 p₁ + 3 p₂) + p₂(109 + 2 p₁ - 3 p₂) - 2 (81 - 5 p₁ + 3 p₂) - 4(109 + 2 p₁ - 3 p₂)

Damit ich nicht ständig die Indizes schreiben muss, nenne ich mal p₁=x, p₂=y:

D(x,y) = 81x - 5x² + 3xy + 109y + 2xy - 3y² - 162 +  10x - 6y - 436 - 8x + 12y

D(x,y) = -5x² - 3y² + 5xy + 83x + 115y - 598

Setze die beiden partiellen Ableitungen 0:

∂_x D = -10x + 5y + 83 = 0
∂_y D = -6y + 5x + 115 = 0

Ergibt das lineare Gleichungssytem:

-10x + 5y = -83    (1)
5x - 6y = -115       (2)

Addiert man zweimal die zweite Gleichung zur ersten, erhält man:

-7y = -313
y = 313/7

Zurück zum Gleichungssystem:

6*(1)+5*(2):

-35x = 6*(-83)+5*(-115) = -1073
x = 1073/35

Das einzig mögliche Extremum liegt also bei

(x,y) = (1073/35, 313/7)

Um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt kann nun entweder die Hesse-Matrix bestimmt werden, oder man macht einfach eine Plausibilitätsuntersuchung:

D geht für x, y gegen ±∞ wegen den negativen Vorzeichen vor dem x² und y²-Term gegen -∞, also muss es sich um ein Maximum handeln.

Comments

Wie kommst du auf 6* (1) und 5* (2). Also woher hast du die 6 und die 5?