Wie lautet die Herleitung von e^x?

Question

Hallo
Wie lautet die Herleitung von e^x bzw. das e die Zahl ist, bei der gilt, das e^x = (e^x)' sind, zur Herleitung der Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion y= (a^x)`?
Danke

Answer 1

Jede Exponentialfunktion kann in eine andere Exponentialfunktion
mit anderer Basis umgewandelt werden.

a^x = e^z  | ln
ln (a^x ) = ln ( e^z )
x * ln(a ) = z

a^x = e^{x*ln[a]}

( a^x ) ´ = ( e^{x*ln[a]} ) ´ = e^{x*ln[a]} * ln(a)

( a^x ) ´= a^x * ln(a)

Answer 2

in der Regel definiert man e^x=∑_k=0^∞ x^k/(k!)

Leitet man beide Seiten der Gleichung ab (auf der rechten Seite kann man für die Ableitung die Potenzregeln verwenden), ergibt sich:

[e^{x}]'=∑_k=1^∞ k*x^{k-1}/(k)!=∑_k=1^∞ x^{k-1}/(k-1)!=∑_k=0^∞ x^{k}/(k)!=e^x

Die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis e ergibt also wieder sich selber.

Damit kann man auch einfach e berechnen:

e^1=∑_k=0^∞ 1/(k!)=1+1/1+1/2+1/6+1/24+1/120....≈2.7166

Für alle anderen Basen kann verwendet werden:

a^{x}=e^{ln[a]*x} Ableitung mit Kettenregel

a^{x}'=e^{ln[a]*x}*ln(a)=a^x*ln(a)