Betrachte eine Funktion \(f(x,y)\), die von 2 Parametern \(x\) und \(y\) abhängt. Du kannst diese Funktion partiell nach \(x\) ableiten (und dabei \(y\) als Konstante betrachten), also \(\frac{\partial f}{\partial x}\) berechnen, wenn du wissen möchtest, wie sich die Funktion bei kleinen Änderungen \(dx\) von \(x\) ändert. Ebenso kannst du die Funktion partiell nach \(y\) ableiten (und dabei \(x\) als Konstante betrachten), also \(\frac{\partial f}{\partial y}\) berechnen, wenn du wissen möchtest, wie sich die Funktion bei kleinen Änderungen \(dy\) von \(y\) ändert.
Wenn du aber wissen möchtest, wie sich die Funktion \(f\) ändert, wenn beide Variablen \(x\) und \(y\) zugleich variabel sind, kannst du die totale Ableitung bestimmen. Dazu benötigst du eine Variable, von der sowohl \(x\) als auch \(y\) abhängt. In der Regel ist diese Variable die Zeit \(t\). Das heißt, du kannst Funktionen der Form \(x=x(t)\) und \(y=y(t)\) angeben. Nach der Kettenregel ist dann die totale Ableitung:$$\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}$$Bei Integralen z.B. wird oft das totale Differential \(df\) benötigt. Dieses lautet entsprechend:
$$df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy$$Das hat den großen Vorteil, dass man gar nicht wissen muss, wie \(x=x(t)\) bzw. \(y=y(t)\) konkret aussehen. In deinem Beispiel von oben braucht man z.B. gar nicht zu wissen, wie genau der zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit \(v(t)\) ist und kann trotzdem das totale Differential \(d(mv)\) des Impulses bestimmen.
