Herleitung der Kettenregel an f(x)= e^-2x

Question

Aufgabe: Bilden Sie ausführlich die Herleitung der Kettenregel am Beispiel der Funktion f(x)= e^-2x

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass die 1. Ableitung -2e^-2x ist, aber wie man das ausführlich Herleitet weiß ich leider nicht mehr :(

Vielleicht kann mir einer von euch helfen

Danke schon mal ;)

Answer 1

Vielleicht ist das so gemeint:

Mit den anderen Ableitungsregeln ergibt sich das Gleiche wie mit der Kettenregel.

e^(-2x) = (1/e^x ) * (1/ e^x )

Abl. mit Kettenregel -2*e^(-2x)

mit Produkt und Quotientenregel

1/e^x * (Abl. von 1/e^x)  +( Abl. von 1/e^x ) * 1/e^x

= 2*(1/e^x) * (Abl. von 1/e^x)

= 2*(1/e^x )* ( e^x * 0 - 1*e^x ) / (e^x)^2

= 2*(1/e^x )* (  - 1*e^x ) / (e^x)^2

= 2*(1/e^x) * (  - 1) / e^x

= -2*(1/e^x) * 1 / e^x

=-2*e^(-2x)

Comments

Hey danke, aber ich muss die Kettenregel ausführlich anwenden mit Limes h->0

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Dann vielleicht so:

$$\frac{e^{-2(x+h)}-e^{-2x}}{h}$$$$=\frac{e^{-2x-2h}-e^{-2x}}{h}$$$$=e^{-2x}\frac{e^{-2h}-1}{h}$$$$=e^{-2x}\frac{(e^{-h}-1)*(e^{-h}+1)}{h}$$$$=e^{-2x}*(e^{-h}+1)\frac{(e^{-h}-1)}{h}$$

Jetzt den Grenzwert für h gegen 0:

Gibt für den ersten Faktor e^(-2x) und für den zweiten 2

und für den dritten -1 , weil der Grenzwert von $$\frac{(e^{-h}-1)}{h}$$

ja der gleiche ist wie der von  $$\frac{(e^{h}-1)}{-h}$$

bzw  $$- \frac{(e^{h}-1)}{h}$$ und letzteren kennt man von

der Herleitung zur e-Funktion als Ableitung an der Stelle o

mit einem Minus davor.

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Vielen Dank :)