lösen von nicht-linearen dgl mithilfe von substitution

Question

ich stehe bei dieser Aufgabe irgendwie total auf dem schlauch. Ich weiß eigentlich wie man dgl durch substitution löst, aber irgendwie kriege ich das mit  der vorgegeben substitution nicht hin.

ich habe u erst abgeleitet und da kam: u' = -y^{-2} * 1/y'

ist das erstmal richtig? und dann dachte ich, ich müsste nach y' umformen und in die obere Gleichung einsetzen aber irgendwie komme ich damit nicht weiter... also ich habe dann keinen term in dem nur u' und u vorliegt.. was mache ich falsch :/

Vielen dank:)

Answer 1

a und b siehe Rechnung

c )Hier mußt Du y 1 Mal ableiten und dann y  und y ' in die Aufgabe einsetzen.

Die linke Seite muß dann der rechten entsprechen.

Answer 2

y'-y+y^2=0
u(x)=y^-1(x) --> u'(x)=-y'(x)*y^{-2}(x) --> y'(x)=-u'(x)*y^2(x)--> y(x)=u^-1(x)einsetzen:
-u'(x)*y^2(x)-u^{-1}+u^{-2}=0
-u'(x)*u^{-2}(x)-u^{-1}+u^{-2}=0
-u'(x)*u^{-1}(x)-1+u^{-1}=0(-u'(x)+1)*u^{-1}(x)=1-u'(x)+1=u(x)u(x)+u'(x)=1
Lösung:u(x)=c₁*e^{-x}+1
Rücksubstitution:    --> y(x)=1/(c₁*e^{-x}+1)=e^x/(c₁+e^x)