DGL durch Substitution lösen - Ansatz fehlt

Question

Hallo zusammen,

mir fehlt der Ansatz zur Substitution bei folgender Aufgabe:

y‘=\( \frac{1}{1+x-y} \)

Ich vermute den Ansatz

y‘=f(y/x), jedoch komme ich nicht damit voran die DGL entsprechend umzustellen.

Vielen Dank vorab!

Answer 1

Hallo,

Substituiere

z=1+x-y

-y=z-1-x

y=-z+x+1

y'=-z' +1

------->Einsetzen in die DGL

-z'+1=1/z ->Trennung der Variablen

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Das ist ja einfacher als gedacht…

Nun komme ich mit TDV jedoch zu folgendem Punkt:

Integral von ( \( \frac{1}{\frac{-1}{z}+1} \)  dz)

Mit dem TR kann ich das ganze lösen.

-1+z+ln(-1+z)

Welche Regel befolgt dieser jedoch um das ganze ohne Hilfsmittel lösen zu können?

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Kannst du  \(\frac{-1}{z}+1 \)  als EINEN Bruch schreiben?

Und dann vom Ergebnis das Reziproke bilden?

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@Jasmin

Bilde zuerst den Hauptnenner vom Nenner, dann Kehrwert bilden

Bringe dann alles mit x auf eine Seite und z auf die andere Seite

Lösungen zum Vergleich:

implizite Form:

1+x-y +ln|x-y| =x+c | -x

1-y +ln|x-y| =c | -1

-y +ln|x-y| =c -1 | *(-1)

y -ln|x-y| = -c +1

y -ln|x-y| = C₁

und y=x

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l}-\frac{d z}{d x}+1=\frac{1}{z} \mid-1 \\ -\frac{d z}{d x}=\frac{1}{z}-1 \quad \mid \cdot(-1) \\ \frac{d z}{d x}=-\frac{1}{z}+1 \mid \cdot d x \\ d z=\left(-\frac{1}{z}+1\right) d x \mid:-\frac{1}{z}+1 \\ \frac{1}{-\frac{1}{z}+1} d z=d x \\ \frac{1}{1}:\left(-\frac{1}{z}\right)+1=d x \\ \frac{1}{1}\left(-\frac{z}{1}\right)+1=d x=-\frac{z}{1}+1=-z+1 d z \\ \Rightarrow-z+1 d z=d x \quad \mid \int \\ \int-z+1 d z=\int d x=x+c \\ -\frac{z^{2}}{2}+z=x+c\end{array} \)

Irgendwo hier muss mein Fehler stecken. Ich weiß allerdings nicht wobei genau

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Hallo,

bis zu diesem Integral stimmt es, der weitere Weg:

Ergebnis weiter vereinfacht:

1+x-y +ln|x-y| =x+c | -x

1-y +ln|x-y| =c | -1

-y +ln|x-y| =c -1 | *(-1)

y -ln|x-y| = -c +1 → - c+1 =C₁ 

y -ln|x-y| = C₁

Beachte , die DGL hat noch eine 2.Lösung:

Answer 2

Hallo. warum nicht einfach den Nenner =z dann z'=1-y'

Gruß lul